pobieranie: Weryfikacja hipotez statystycznych 2_8
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Laboratorium Statystyki Matematycznej
SPRAWOZDANIE NR.2.
Ćwiczenie nr 2 Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych.
Zestaw nr.9.
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie: Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy,
test t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony
jest od spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji.
Jeśli (12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje
się test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Zbadano okresy trwałości dwu głowic frezarskich w jednakowych
warunkach obróbki. Dla pierwszej głowicy otrzymano następujące
wyniki (w minutach): 62,5;57,5;67,5;55;75;74;42;65;70;72;60;65;50;54.
Dla drugiej głowicy otrzymano: 62,5;50;60;62;76;68;35;62;56;60;50;71.
Zakładając, że okresy trwałości mają rozkłady normalne,
zweryfikować na poziomie istotności α=0,05 hipotezę zerową, że
wartości przeciętne okresów trwałości w obu głowicach są
jednakowe H0:μ1=μ2: wobec hipotezy alternatywnej:
wartości przeciętne okresów trwałości obu głowic różnią się
H1: μ1( μ2,
wartość przeciętna okresów trwałości pierwszej głowicy jest
niższa niż drugiej głowicy H2: μ1< μ2,
wartość przeciętna okresów trwałości pierwszej głowicy jest
większa niż drugiej głowicy H3: μ1> μ2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 62,1071 59,375 0,680719 14 0,502565 14
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. P
Warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 9,634031 10,83581 1,265047 0,678481
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(12=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (12<(22. Obliczona wartość
statystyki F=1,265047 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95,11,13=.......... (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy
też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,502565 która jest
dużo większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t. Obliczona wartość
statystyki testowej t= 0,680719 i jej bezwzględna wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,064 >u<2,064;+() i
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym
wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,502565, która jest większa
od przyjętego poziomu istotności testu (=0,05.
a) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest inna niż
nie przeszkolonych H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,064
>u<2,064;+() nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
b) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest
niższa H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24= 1,711 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(;-1,711> nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
c) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest wyższa
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24= 1,711 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W((<1,711;+() nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Tak więc średnia wydajność robotników nie zależy od uprzedniego
przeszkolenia.
Zadanie 2
Pewnej grupie pacjentów leczonych na nadciśnienie podano odpowiedni
lek. Wyniki pomiarów ciśnienia tętniczego skurczowego przed podaniem
leku i po podaniu są następujące:
przed podaniem leki: 200,165,250,265,180,275,235,170,205,210,
po podaniu leku: 170,155,215,240,200,195,230,140,155,175,
Zweryfikować na poziomie istotności (=0,05 hipotezę zerową, że lek
nie powoduje istotnej zmiany ciśnienia (czyli średnie ciśnienie krwi
przed leczeniem i po leczeniu są jednakowe):
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR1
VAR2 3,5
12 22,49074
29,07844 10 -8,5 9,732534 -2,76180 9 0,022047
a) lek powoduje zmianę ciśnienia H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-2,26>u<2,26;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho
na korzyść hipotezy alternatywnej H1:(1((2
b) lek powoduje wzrost ciśnieniaH2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 nie należy do
obszaru krytycznego W(((-(,-1,83> więc nie należy odrzucić hipotezy
Ho
c) lek powoduje spadek ciśnienia (po leczeniu ciśnienie jest mniejsze)
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 należy do obszaru
krytycznego W((<1,83;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H3:(1>(2.
Tak więc lek powoduje zmianę ciśnienia. Po jego zażyciu ciśnienie
spada.
Weryfikacja hipotez statystycznych 2_8
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Laboratorium Statystyki Matematycznej
SPRAWOZDANIE NR.2.
Ćwiczenie nr 2 Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych.
Zestaw nr.9.
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie: Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy,
test t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony
jest od spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji.
Jeśli (12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje
się test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Zbadano okresy trwałości dwu głowic frezarskich w jednakowych
warunkach obróbki. Dla pierwszej głowicy otrzymano następujące
wyniki (w minutach): 62,5;57,5;67,5;55;75;74;42;65;70;72;60;65;50;54.
Dla drugiej głowicy otrzymano: 62,5;50;60;62;76;68;35;62;56;60;50;71.
Zakładając, że okresy trwałości mają rozkłady normalne,
zweryfikować na poziomie istotności α=0,05 hipotezę zerową, że
wartości przeciętne okresów trwałości w obu głowicach są
jednakowe H0:μ1=μ2: wobec hipotezy alternatywnej:
wartości przeciętne okresów trwałości obu głowic różnią się
H1: μ1( μ2,
wartość przeciętna okresów trwałości pierwszej głowicy jest
niższa niż drugiej głowicy H2: μ1< μ2,
wartość przeciętna okresów trwałości pierwszej głowicy jest
większa niż drugiej głowicy H3: μ1> μ2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 62,1071 59,375 0,680719 14 0,502565 14
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. P
Warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 9,634031 10,83581 1,265047 0,678481
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(12=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (12<(22. Obliczona wartość
statystyki F=1,265047 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95,11,13=.......... (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy
też o tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,502565 która jest
dużo większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t. Obliczona wartość
statystyki testowej t= 0,680719 i jej bezwzględna wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,064 >u<2,064;+() i
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym
wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,502565, która jest większa
od przyjętego poziomu istotności testu (=0,05.
a) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest inna niż
nie przeszkolonych H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,064
>u<2,064;+() nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
b) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest
niższa H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24= 1,711 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(;-1,711> nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
c) średnia wydajność pracy robotników przeszkolonych jest wyższa
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 0,680719 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24= 1,711 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego W((<1,711;+() nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Tak więc średnia wydajność robotników nie zależy od uprzedniego
przeszkolenia.
Zadanie 2
Pewnej grupie pacjentów leczonych na nadciśnienie podano odpowiedni
lek. Wyniki pomiarów ciśnienia tętniczego skurczowego przed podaniem
leku i po podaniu są następujące:
przed podaniem leki: 200,165,250,265,180,275,235,170,205,210,
po podaniu leku: 170,155,215,240,200,195,230,140,155,175,
Zweryfikować na poziomie istotności (=0,05 hipotezę zerową, że lek
nie powoduje istotnej zmiany ciśnienia (czyli średnie ciśnienie krwi
przed leczeniem i po leczeniu są jednakowe):
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR1
VAR2 3,5
12 22,49074
29,07844 10 -8,5 9,732534 -2,76180 9 0,022047
a) lek powoduje zmianę ciśnienia H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-2,26>u<2,26;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho
na korzyść hipotezy alternatywnej H1:(1((2
b) lek powoduje wzrost ciśnieniaH2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 nie należy do
obszaru krytycznego W(((-(,-1,83> więc nie należy odrzucić hipotezy
Ho
c) lek powoduje spadek ciśnienia (po leczeniu ciśnienie jest mniejsze)
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= 3,304936 należy do obszaru
krytycznego W((<1,83;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H3:(1>(2.
Tak więc lek powoduje zmianę ciśnienia. Po jego zażyciu ciśnienie
spada.
