pobieranie: Weryfikacja hipotez statystycznych 2_4
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Sprawozdanie nr
Ćw. nr Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych
Imię i Nazwisko
Wydział Mechaniczny Grupa:
Data wykonywania ćwiczenia:
Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
1. Część teoretyczna: Test Kołmogorowa
A. Weryfikacja hipotezy H, że cecha X typu ciągłego ma dystrybuantę
F0(x) całkowicie określoną. Jako statystykę testową Kołmogorow
przyjął
(1)
w której Sn(x) jest dystrybuantą empiryczną (doświadczalną)
ustaloną na podstawie uporządkowanej próbki
w sposób następujący:
(2)
Sens wyboru statystyki Dn jako miary „rozbieżności” między F0 a
Sn wyjaśnia twierdzenie Gliwienki, którego treścią jest równość
| H jest prawdziwa) = 1 (3)
Statystyka Dn – w przypadku prawdziwości hipotezy – ma rozkład
niezależny od przyjętej hipotezy. Na podstawie tego rozkładu
sporządza się tablice kwantyli dn(1-α) statystyki Dn; spełniają one
więc oczywistą równość
(4)
W praktycznych zastosowaniach postępuje się jak niżej:
porządkujemy wyniki pomiarów według wielkości
2) obliczamy wszystkie różnice
dla i = 1,...,n
3) obliczamy wszystkie różnice
(5)
, to weryfikowaną hipotezę odrzucamy na przyjętym poziomie
istotności.
B. Weryfikacja hipotezy, że badana cecha ciągła X ma rozkład o
dystrybuancie należącej do klasy dystrybuant F(x, Θ1,..., Θl ).
Jeśli dystrybuanta hipotetyczna F (nazywana często teoretyczną) jest
zależna od nieznanych parametrów, które estymuje się na podstawie
próbki, to rozkład statystyki Dn zależy zarówno od hipotetycznej
dystrybuanty F jak i w ogólnym przypadku od prawdziwych, ale nieznanych
wartości parametrów.
Grupowanie w klasy również wpływa na rozkład Dn, jeśli jednak
długości klas są możliwie małe, a liczność próbki n duża –
rzędu kilkuset – można posługiwać się rozkładem granicznym
statystyki Dn (1):
(6)
Wartości kwantyli λ (1 – α) dla kilku wartości α podaje tabelka:
Kwantyle granicznego (n→∞) rozkładu Kołmogorowa
1 – α 0,90 0,95 0,99
λ(1 – α) 1,224 1,354 1,628
i wartości statystyki Dn jest większa albo równa od krytycznej
wartości (kwantylu) λ( 1 – α), to hipotezę na poziomie istotności
α odrzucamy, w przeciwnym przypadku próbka nie przeczy weryfikowanej
hipotezie przy poziomie istotności α.
Test zgodności Kołmogorowa może być stosowany dla prób o małej
liczności (n > 5), ale tylko wtedy gdy hipotetyczny rozkład jest
przyjmowany całkowicie niezależnie od danych, tzn. nie zachodzi
konieczność szacowania parametrów rozkładu na podstawie próbki. W
przypadku gdy wartości parametrów rozkładu hipotetycznego są
estymowane z próby, liczebność próbki powinna wynosić co najmniej
100 i wówczas można stosować test graniczny λ-Kołmogorowa.
2. Część obliczeniowa:
Test dla prób niezależnych
Zadanie 1. Przy badaniu stabilności operacji obróbki tulejek na
automacie tokarskim pobrano dwie próbki. Pierwszą w okresie
początkowym i drugą po określonym czasie. W wyniku pomiaru średnicy
zewnętrznej tulejek w pierwszej próbce uzyskano:51,912; 51,912;
51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912 mm.
Średnice tulejek w drugiej próbce były następujące: 51,912; 51,912;
51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912; 51,912; 51,912; 51,912 mm.
Zakładając, że zmiana warunków obróbki w ciągu odcinka czasu
pomiędzy dwiema próbkami nie ma wpływu na wariancję oraz, że
średnica tulejek ma rozkład normalny, sprawdzić na poziomie
istotności α = 0,05, czy zaszła w tym czasie zmiana nastawienia
obrabiarki.
. Nie wiemy na razie, czy warunek jednorodności wariancji w obu
populacjach jest spełniony. Aby dokonać wstępnych obliczeń
przyjmujemy, że jest. Wyniki obliczeń prezentuje poniższa tabelka:
Grupa 1 vs. Grupa 2 Średnia Grupa 1 Średnia Grupa 2 t df p Nważnych
Grupa 1
VAR1 vs. VAR2 51,91220 51,91210 0,600000 18 0,555985 10
Grupa 1 vs. Grupa 2 Nważnych Grupa 2 Odch. std. Grupa 1 Odch. std.
Grupa 2 Prop. F wariancji p
wariancji
VAR1 vs. VAR2 10 0,000422 0,000316 1,777778 0,404320
. Obliczona wartość statystyki F = 1,777778 jest mniejsza od
wartości krytycznej F0,95, 9, 9 = 3,18. Ponadto wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,404320 jest większa od przyjętego poziomu
istotności α = 0,05. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej o równości wariancji. Można zatem do weryfikacji
hipotezy zerowej o równości wartości oczekiwanych w obu populacjach
zastosować test t. Obliczona wartość statystyki testowej t = 0,600000
jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975, 18 = 2,10, a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego i nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy o tym też wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,555985, która jest większa od przyjętego
poziomu istotności testu α = 0,05.
Test t dla prób zależnych
Zadanie 2. Dla porównania dwóch mikrometrów wykonano pomiary
dziewięciu płytek. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli poniżej:
Nr płytki 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wynik pomiaru mikrometrem I 94,20 97,92 103,05 113,04 122,98 133,11
149,20 153,20 193,01
Wynik pomiaru mikrometrem II 94,21 97,95 103,04 113,05 122,99 133,10
149,30 153,50 193,90
.
Wyniki testu dla prób zależnych prezentuje poniższa tabela:
Zmienna Średnia Od. std. N Różnica Od. std. Różnica t df p
VAR1 128,8567 32,11121
VAR2 129,0044 32,36520 9 -0,147778 0,295160 -1,50201 8 0,171494
. W związku z tym na poziomie istotności α = 0,05 nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o jednakowych
wskazaniach mikrometrów. Świadczy o tym również wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,171494, która jest większa od przyjętego
poziomu istotności α = 0,05.
PAGE
PAGE 1
Weryfikacja hipotez statystycznych 2_4
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Sprawozdanie nr
Ćw. nr Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych
Imię i Nazwisko
Wydział Mechaniczny Grupa:
Data wykonywania ćwiczenia:
Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
1. Część teoretyczna: Test Kołmogorowa
A. Weryfikacja hipotezy H, że cecha X typu ciągłego ma dystrybuantę
F0(x) całkowicie określoną. Jako statystykę testową Kołmogorow
przyjął
(1)
w której Sn(x) jest dystrybuantą empiryczną (doświadczalną)
ustaloną na podstawie uporządkowanej próbki
w sposób następujący:
(2)
Sens wyboru statystyki Dn jako miary „rozbieżności” między F0 a
Sn wyjaśnia twierdzenie Gliwienki, którego treścią jest równość
| H jest prawdziwa) = 1 (3)
Statystyka Dn – w przypadku prawdziwości hipotezy – ma rozkład
niezależny od przyjętej hipotezy. Na podstawie tego rozkładu
sporządza się tablice kwantyli dn(1-α) statystyki Dn; spełniają one
więc oczywistą równość
(4)
W praktycznych zastosowaniach postępuje się jak niżej:
porządkujemy wyniki pomiarów według wielkości
2) obliczamy wszystkie różnice
dla i = 1,...,n
3) obliczamy wszystkie różnice
(5)
, to weryfikowaną hipotezę odrzucamy na przyjętym poziomie
istotności.
B. Weryfikacja hipotezy, że badana cecha ciągła X ma rozkład o
dystrybuancie należącej do klasy dystrybuant F(x, Θ1,..., Θl ).
Jeśli dystrybuanta hipotetyczna F (nazywana często teoretyczną) jest
zależna od nieznanych parametrów, które estymuje się na podstawie
próbki, to rozkład statystyki Dn zależy zarówno od hipotetycznej
dystrybuanty F jak i w ogólnym przypadku od prawdziwych, ale nieznanych
wartości parametrów.
Grupowanie w klasy również wpływa na rozkład Dn, jeśli jednak
długości klas są możliwie małe, a liczność próbki n duża –
rzędu kilkuset – można posługiwać się rozkładem granicznym
statystyki Dn (1):
(6)
Wartości kwantyli λ (1 – α) dla kilku wartości α podaje tabelka:
Kwantyle granicznego (n→∞) rozkładu Kołmogorowa
1 – α 0,90 0,95 0,99
λ(1 – α) 1,224 1,354 1,628
i wartości statystyki Dn jest większa albo równa od krytycznej
wartości (kwantylu) λ( 1 – α), to hipotezę na poziomie istotności
α odrzucamy, w przeciwnym przypadku próbka nie przeczy weryfikowanej
hipotezie przy poziomie istotności α.
Test zgodności Kołmogorowa może być stosowany dla prób o małej
liczności (n > 5), ale tylko wtedy gdy hipotetyczny rozkład jest
przyjmowany całkowicie niezależnie od danych, tzn. nie zachodzi
konieczność szacowania parametrów rozkładu na podstawie próbki. W
przypadku gdy wartości parametrów rozkładu hipotetycznego są
estymowane z próby, liczebność próbki powinna wynosić co najmniej
100 i wówczas można stosować test graniczny λ-Kołmogorowa.
2. Część obliczeniowa:
Test dla prób niezależnych
Zadanie 1. Przy badaniu stabilności operacji obróbki tulejek na
automacie tokarskim pobrano dwie próbki. Pierwszą w okresie
początkowym i drugą po określonym czasie. W wyniku pomiaru średnicy
zewnętrznej tulejek w pierwszej próbce uzyskano:51,912; 51,912;
51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912 mm.
Średnice tulejek w drugiej próbce były następujące: 51,912; 51,912;
51,912; 51,912; 51,913; 51,912; 51,912; 51,912; 51,912; 51,912 mm.
Zakładając, że zmiana warunków obróbki w ciągu odcinka czasu
pomiędzy dwiema próbkami nie ma wpływu na wariancję oraz, że
średnica tulejek ma rozkład normalny, sprawdzić na poziomie
istotności α = 0,05, czy zaszła w tym czasie zmiana nastawienia
obrabiarki.
. Nie wiemy na razie, czy warunek jednorodności wariancji w obu
populacjach jest spełniony. Aby dokonać wstępnych obliczeń
przyjmujemy, że jest. Wyniki obliczeń prezentuje poniższa tabelka:
Grupa 1 vs. Grupa 2 Średnia Grupa 1 Średnia Grupa 2 t df p Nważnych
Grupa 1
VAR1 vs. VAR2 51,91220 51,91210 0,600000 18 0,555985 10
Grupa 1 vs. Grupa 2 Nważnych Grupa 2 Odch. std. Grupa 1 Odch. std.
Grupa 2 Prop. F wariancji p
wariancji
VAR1 vs. VAR2 10 0,000422 0,000316 1,777778 0,404320
. Obliczona wartość statystyki F = 1,777778 jest mniejsza od
wartości krytycznej F0,95, 9, 9 = 3,18. Ponadto wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,404320 jest większa od przyjętego poziomu
istotności α = 0,05. W związku z tym nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej o równości wariancji. Można zatem do weryfikacji
hipotezy zerowej o równości wartości oczekiwanych w obu populacjach
zastosować test t. Obliczona wartość statystyki testowej t = 0,600000
jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975, 18 = 2,10, a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego i nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy o tym też wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,555985, która jest większa od przyjętego
poziomu istotności testu α = 0,05.
Test t dla prób zależnych
Zadanie 2. Dla porównania dwóch mikrometrów wykonano pomiary
dziewięciu płytek. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli poniżej:
Nr płytki 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wynik pomiaru mikrometrem I 94,20 97,92 103,05 113,04 122,98 133,11
149,20 153,20 193,01
Wynik pomiaru mikrometrem II 94,21 97,95 103,04 113,05 122,99 133,10
149,30 153,50 193,90
.
Wyniki testu dla prób zależnych prezentuje poniższa tabela:
Zmienna Średnia Od. std. N Różnica Od. std. Różnica t df p
VAR1 128,8567 32,11121
VAR2 129,0044 32,36520 9 -0,147778 0,295160 -1,50201 8 0,171494
. W związku z tym na poziomie istotności α = 0,05 nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej o jednakowych
wskazaniach mikrometrów. Świadczy o tym również wartość poziomu
prawdopodobieństwa p = 0,171494, która jest większa od przyjętego
poziomu istotności α = 0,05.
PAGE
PAGE 1
