pobieranie: Weryfikacja hipotez statystycznych 2_12
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZENIŃSKA
LABORATORIUM STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
SPRAWOZDANIE NR 2
Ćwiczenie nr 2 Temat:
Zestaw nr 4
Nazwisko i Imię:
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy, test
t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony jest od
spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji. Jeśli
(12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje się
test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Dla porównania dwóch grup studenckich obejmujących 14 i 12
studentów wzięto pod uwagę następujące wyniki egzaminów:
dla grupy A: 5,3,4,3,2,4,3,3,3,2,4,3,4,5
dla grupy B: 4,4,3,3,3,5,2,5,3,4,3,3
Zakładając że średnie wynki ocen mają rozkłady normalne,
zweryfikować na poziomie istotności (=0,05 hipotezę zerową, że
wartości przeciętne egzaminu w obu grupach sa jednakowe Ho:(1=(2 wobec
hipotezy alternatywnej:
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A różni
się od ocen grupy B H1:(1((2
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A niższa
niż studentów grupy B H2: (1<(2
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A wyższa
niż grupy B H3: (1>(2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 3,428 3,500 -0,1968 24 0,8456 14
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. p
warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 0,9376 0,9045 1,0744 0,9163
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(21=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (21<(22. Obliczona wartość
statystyki F=1,0744 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95;11;13=2,67 (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy też o
tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,8456 która jest dużo
większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t.
Dla hipotezy zerowej H0:(1=(2 zakładamy następujące hipotezy
alternatywne:
a )wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A różni
się od ocen grupy B
H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego
W(((-(,-2,064>u<2,064;+() nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
c)
H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest
większa od wartości krytycznej t0,95;24= -1,71 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(;-1,71> nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej.
b)
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24=1,71 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W((<1,71;+() nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej.
Wszystkie hipotezy alternatywne zostały odrzucone na rzecz hipotezy
zerowej H0.
Zadanie 2
W celu stwierdzenia czy istotny jest wpływ temperatury na dokładność
wskazań pewnego typu zegarków dla 10 losowo wybranych partii zegarków
po jednodniowym umieszczeniu ich w temperaturze 5oC wyznaczono
różnicę pomiędzy czasem dokładnym a czasem wskazanym przez zegarek,
a następnie przeprowadzono dla tych samych zegarków analogiczne
doświadczenie przy temperaturze 25oC. Otrzymano następ. rezultaty.
Nr zegarka Różnica wskazań w temp. 5OC Różnica wskazań w temp.
25OC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 -10
45
-30
-10
20
50
-30
-25
0
15 5
50
-30
0
15
60
-10
-20
20
30
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR4
VAR2 2,5
12,0
29,273
29,078 10 -9,50 8,316 -3,61 9 0,0056
Dla hipotezy zerowej H0:(1=(2 zakładamy następujące hipotezy
alternatywne:
a)wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest inna niż w
temp. 5oC H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-2,26>u<2,26;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho
na korzyść hipotezy alternatywnej H1:(1((2
b) wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest wyższa
niż w temp. 5oC H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-1,83> więc należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H2:(1<(2
c) wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 5oC jest wyższa
niż w temp. 25oC H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 nie należy do obszaru
krytycznego W((<1,83;+() więc nie należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H3:(1>(2
Odrzucamy H0 hipotezę zerową mówiącą że wartość przeciętna
wskazań zegarków w temp. 25oC jest taka sama jak w temp. 5oC H1:(1=(2,
na rzecz hipotezy alternatywnej H2 mówiącej o tym że wartość
przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest większa niż w temp.
5oC H2:(1<(2.
Weryfikacja hipotez statystycznych 2_12
POLITECHNIKA SZCZENIŃSKA
LABORATORIUM STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
SPRAWOZDANIE NR 2
Ćwiczenie nr 2 Temat:
Zestaw nr 4
Nazwisko i Imię:
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy, test
t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony jest od
spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji. Jeśli
(12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje się
test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Dla porównania dwóch grup studenckich obejmujących 14 i 12
studentów wzięto pod uwagę następujące wyniki egzaminów:
dla grupy A: 5,3,4,3,2,4,3,3,3,2,4,3,4,5
dla grupy B: 4,4,3,3,3,5,2,5,3,4,3,3
Zakładając że średnie wynki ocen mają rozkłady normalne,
zweryfikować na poziomie istotności (=0,05 hipotezę zerową, że
wartości przeciętne egzaminu w obu grupach sa jednakowe Ho:(1=(2 wobec
hipotezy alternatywnej:
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A różni
się od ocen grupy B H1:(1((2
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A niższa
niż studentów grupy B H2: (1<(2
wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A wyższa
niż grupy B H3: (1>(2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 3,428 3,500 -0,1968 24 0,8456 14
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. p
warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 0,9376 0,9045 1,0744 0,9163
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(21=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (21<(22. Obliczona wartość
statystyki F=1,0744 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95;11;13=2,67 (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy też o
tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,8456 która jest dużo
większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t.
Dla hipotezy zerowej H0:(1=(2 zakładamy następujące hipotezy
alternatywne:
a )wartość przeciętna ocen uzyskana przez studentów grupy A różni
się od ocen grupy B
H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości krytycznej t0,975;24=2,064 a więc
statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego
W(((-(,-2,064>u<2,064;+() nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
c)
H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest
większa od wartości krytycznej t0,95;24= -1,71 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(;-1,71> nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej.
b)
H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -0,1968 jej bezwzględna
wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,95;24=1,71 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W((<1,71;+() nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej.
Wszystkie hipotezy alternatywne zostały odrzucone na rzecz hipotezy
zerowej H0.
Zadanie 2
W celu stwierdzenia czy istotny jest wpływ temperatury na dokładność
wskazań pewnego typu zegarków dla 10 losowo wybranych partii zegarków
po jednodniowym umieszczeniu ich w temperaturze 5oC wyznaczono
różnicę pomiędzy czasem dokładnym a czasem wskazanym przez zegarek,
a następnie przeprowadzono dla tych samych zegarków analogiczne
doświadczenie przy temperaturze 25oC. Otrzymano następ. rezultaty.
Nr zegarka Różnica wskazań w temp. 5OC Różnica wskazań w temp.
25OC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 -10
45
-30
-10
20
50
-30
-25
0
15 5
50
-30
0
15
60
-10
-20
20
30
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR4
VAR2 2,5
12,0
29,273
29,078 10 -9,50 8,316 -3,61 9 0,0056
Dla hipotezy zerowej H0:(1=(2 zakładamy następujące hipotezy
alternatywne:
a)wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest inna niż w
temp. 5oC H1:(1((2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-2,26>u<2,26;+() więc należy odrzucić hipotezy Ho
na korzyść hipotezy alternatywnej H1:(1((2
b) wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest wyższa
niż w temp. 5oC H2:(1<(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 należy do obszaru
krytycznego W(((-(,-1,83> więc należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H2:(1<(2
c) wartość przeciętna wskazań zegarków w temp. 5oC jest wyższa
niż w temp. 25oC H3:(1>(2
Obliczona wartość statystyki testowej t= -3,61 nie należy do obszaru
krytycznego W((<1,83;+() więc nie należy odrzucić hipotezy Ho na
korzyść hipotezy alternatywnej H3:(1>(2
Odrzucamy H0 hipotezę zerową mówiącą że wartość przeciętna
wskazań zegarków w temp. 25oC jest taka sama jak w temp. 5oC H1:(1=(2,
na rzecz hipotezy alternatywnej H2 mówiącej o tym że wartość
przeciętna wskazań zegarków w temp. 25oC jest większa niż w temp.
5oC H2:(1<(2.
