pobieranie: Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie wymuszonych siłą harmoniczną drgań belki wspornikowej z podwieszonym oscylatorem mechanicznym
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH
Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie
wymuszonych siłą harmoniczną drgań belki wspornikowej z podwieszonym
oscylatorem mechanicznym.
1.Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie eksperymentalnej charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej układu mechanicznego o dwóch
stopniach swobody w ruchu drgającym wymuszonym siłą harmoniczną.
Czynności do wykonania:
- zmierzyć amplitudy drgań 1-go stopnia swobody układu dla stopniowo
narastającej częstotliwości siły wymuszającej.
- zmierzyć amplitudy i częstotliwości drgań w rezonansach.
- uchwycić częstotliwość, przy której zanikają drgania 1-go
stopnia swobody badanego układu.
Dla badanego stanowiska fizycznego przeprowadzić analizę drgań,
wyznaczyć matematyczne wzory (formuły) dla obliczenia amplitudy
teoretycznej drgań, dokonać porównania amplitud wyznaczonych
eksperymentalnie z teoretycznymi i ocenić stopień dokładności
użytego modelu zstępującego układ rzeczywisty.
3.Model stanowiska pomiarowego:
P(t)=P0*sin((*t)
4.Tabela pomiarowa:
f [Hz] (=2*(*f Ae((t) [mm]
1 6,28 0,256
2 12,56 0,258
3 18,84 0,283
3,5 21,99 0,303
4 25,13 0,327
4,2 26,38 0,281
4,4 27,64 0,681
4,6 28,9 0,09
4,8 30,15 0,18
5 31,41 0,23
6 37,69 0,298
7 43,98 0,345
8 50,26 0,418
9 56,54 0,464
10 62,83 0,523
11 69,11 0,595
12 75,39 0,696
13 81,68 0,838
14 87,96 0,863
15 94,24 0,772
20 125,66 0,353
25 157,08 0,219
30 188,49 0,19
5.Obliczenia:
((aij - qi+kij*qj+aij*qj ) = q(t)
a11=m1 k11=k1+k2
a12=a21=0 k21=k12=-k2
a22=m2 k22=k2
P(t1)=P0 sin((t)
P(t2)=0
m1*q1+(k1+k2)*q1-k2*q2+cq1= P0 sin((t)
-k2*q1+m2*q2+k2*q2=0
Do rozwiązania powyższego układu zastosuję metodę zmiennych
zespolonych, przyjmuję drugi układ równań:
m1*q1+(k1+k2)*y1-k2*q2+cq1= P0 cos((t)
-k2*q1+m2*q2+k2*q2=0
m1*q1i+(k1+k2)*q1i-k2*q2i+cq1i= P0 i sin((t)
-k2*q1i+m2*q2i+k2*q2i=0
m1*(q1i+q1)+(k1+k2)* (q1i+q1)-k2(q2i-q2)+c(q1i+q1)= P0 (cos ((t)+i
sin((t))
-k2*(q1i+q1)+m2*(q2i+q2)+k2*(q2i+q2)=0
z1=q1+iq1 z2=q2+iq2
zi=q1+iq1 z2=q2+iq2
z1=q1+iq1 z2=q2+iq2
ei(t=cos((t)+i sin((t)
m1*z1+(k1+k2)*z1-k2*z1i+cz1= P0*ei(t
-k2*z1+m2*z1+k2*z2=0
Rozwiązania powyższego układu są postaci:
z1(t)=c1*ei(t
z2(t)=c2*ei(t
m1*c1*(2i2* ei(t +(k1+k2)*c1* ei(t -k2*c2* ei(t +c1* (iei(t = P0*ei(t
-k2*c1* ei(t +m2*c2*(2i2* ei(t +k2*c2* ei(t =0
(m1*(2+k1+k2+c*(1)*c1-k2*c2= P0
-k2*(1+c-m2*(2+k2)*c2 =0
(=(-m1*(2+k1+k2+c*(1)*( -m2*(2+k2)-k22
(1=P0*(-m2*(2+k2)
(2=P0*k2
(=A+Bi
A=m1*m2*(4-m1*(2*k2-m2*(2*(k1+k2)+k1*k2
B=k2*c*(-m2*(3*c
c2=A2+i*B2
z1(t)=(A1*cos((t)-B1*sin((t))+i*( A1*sin((t)+B1*cos((t))
z2(t)=(A2*cos((t)-B2*sin((t))+i*( A2*sin((t)+B2*cos((t))
q1(t)= A1*sin((t)+B1*cos((t)
q2(t)= A2*sin((t)+B2*cos((t)
A1=a1*cos(1 A2=a2*cos(2
B1=a1*sin(1 B2=a2*sin(2
a1,a2 - amplitudy wymuszonych drgań ustalonych układu
(1, (2-przesunuiecia drgań wymuszonych w odniesieniu do fazy siły
wymuszającej
ostatecznie a1:
Oznaczam:
]
]
=m1*m2=0,412776 [kg2]
Współczynnik wzmocnienia:
a1=P0*((()
Poszukuję teraz częstości rezonansowej:
A+B=0
=F(m1,m2,c,k1,k2) -spełnia poniższe równanie, jest więc
częstotliwością rezonansową.
6.Wnioski końcowe, analiza błędów:
Ae((t) [mm] At((t) [mm]
P0 (A[mm]
0,256 P0*0,479=0,256 0,535 0
0,258 P0*0,522=0,257 0,494 0,001
0,283 P0*0,644=0,283 0,44 0
0,303 P0*0,824=0,302 0,367 0,001
0,327 P0*1,862=0,325 0,175 0,002
0,281 P0*69,6=0,348 0,005 0,067
0,681 P0*0,906=0,68 0,751 0,001
0,09 P0*0,218=0,089 0,412 0,001
0,18 P0*0,021=0,005 0,266 0,175
0,23 P0*0,143=0,225 1,579 0,005
0,298 P0*0,437=0,298 0,683 0
0,345 P0*0,675=0,344 0,511 0,001
0,418 P0*1,16=0,418 0,361 0
0,464 P0*3,949=0,465 0,118 0,001
0,523 P0*2,573=0,522 0,203 0,001
0,595 P0*0,929=0,594 0,64 0,001
0,696 P0*0,55=0,695 1,265 0,001
0,838 P0*0,382=0,839 2,197 0,001
0,863 P0*0,287=0,658 2,296 0,205
0,772 P0*0,227=0,771 3,397 0,001
0,353 P0*0,101=0,345 3,421 0,008
0,219 P0*0,058=0,215 3,721 0,004
0,19 P0*0,039=0,187 4,804 0,003
Pomiar i obliczenia były wykonane poprawnie, ponieważ amplitudy
otrzymane drogą teoretyczną różnią się od tych otrzymanych drogą
doświadczalną w małym stopniu.
Otrzymana przeze mnie częstotliwość rezonansowa zawiera się w
częstotliwościach danych, co widać na wykresach.
Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie wymuszonych siłą harmoniczną drgań belki wspornikowej z podwieszonym oscylatorem mechanicznym
LABORATORIUM DRGAŃ MECHANICZNYCH
Badanie drgań wymuszonych o dwóch stopniach swobody na przykładzie
wymuszonych siłą harmoniczną drgań belki wspornikowej z podwieszonym
oscylatorem mechanicznym.
1.Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie eksperymentalnej charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej układu mechanicznego o dwóch
stopniach swobody w ruchu drgającym wymuszonym siłą harmoniczną.
Czynności do wykonania:
- zmierzyć amplitudy drgań 1-go stopnia swobody układu dla stopniowo
narastającej częstotliwości siły wymuszającej.
- zmierzyć amplitudy i częstotliwości drgań w rezonansach.
- uchwycić częstotliwość, przy której zanikają drgania 1-go
stopnia swobody badanego układu.
Dla badanego stanowiska fizycznego przeprowadzić analizę drgań,
wyznaczyć matematyczne wzory (formuły) dla obliczenia amplitudy
teoretycznej drgań, dokonać porównania amplitud wyznaczonych
eksperymentalnie z teoretycznymi i ocenić stopień dokładności
użytego modelu zstępującego układ rzeczywisty.
3.Model stanowiska pomiarowego:
P(t)=P0*sin((*t)
4.Tabela pomiarowa:
f [Hz] (=2*(*f Ae((t) [mm]
1 6,28 0,256
2 12,56 0,258
3 18,84 0,283
3,5 21,99 0,303
4 25,13 0,327
4,2 26,38 0,281
4,4 27,64 0,681
4,6 28,9 0,09
4,8 30,15 0,18
5 31,41 0,23
6 37,69 0,298
7 43,98 0,345
8 50,26 0,418
9 56,54 0,464
10 62,83 0,523
11 69,11 0,595
12 75,39 0,696
13 81,68 0,838
14 87,96 0,863
15 94,24 0,772
20 125,66 0,353
25 157,08 0,219
30 188,49 0,19
5.Obliczenia:
((aij - qi+kij*qj+aij*qj ) = q(t)
a11=m1 k11=k1+k2
a12=a21=0 k21=k12=-k2
a22=m2 k22=k2
P(t1)=P0 sin((t)
P(t2)=0
m1*q1+(k1+k2)*q1-k2*q2+cq1= P0 sin((t)
-k2*q1+m2*q2+k2*q2=0
Do rozwiązania powyższego układu zastosuję metodę zmiennych
zespolonych, przyjmuję drugi układ równań:
m1*q1+(k1+k2)*y1-k2*q2+cq1= P0 cos((t)
-k2*q1+m2*q2+k2*q2=0
m1*q1i+(k1+k2)*q1i-k2*q2i+cq1i= P0 i sin((t)
-k2*q1i+m2*q2i+k2*q2i=0
m1*(q1i+q1)+(k1+k2)* (q1i+q1)-k2(q2i-q2)+c(q1i+q1)= P0 (cos ((t)+i
sin((t))
-k2*(q1i+q1)+m2*(q2i+q2)+k2*(q2i+q2)=0
z1=q1+iq1 z2=q2+iq2
zi=q1+iq1 z2=q2+iq2
z1=q1+iq1 z2=q2+iq2
ei(t=cos((t)+i sin((t)
m1*z1+(k1+k2)*z1-k2*z1i+cz1= P0*ei(t
-k2*z1+m2*z1+k2*z2=0
Rozwiązania powyższego układu są postaci:
z1(t)=c1*ei(t
z2(t)=c2*ei(t
m1*c1*(2i2* ei(t +(k1+k2)*c1* ei(t -k2*c2* ei(t +c1* (iei(t = P0*ei(t
-k2*c1* ei(t +m2*c2*(2i2* ei(t +k2*c2* ei(t =0
(m1*(2+k1+k2+c*(1)*c1-k2*c2= P0
-k2*(1+c-m2*(2+k2)*c2 =0
(=(-m1*(2+k1+k2+c*(1)*( -m2*(2+k2)-k22
(1=P0*(-m2*(2+k2)
(2=P0*k2
(=A+Bi
A=m1*m2*(4-m1*(2*k2-m2*(2*(k1+k2)+k1*k2
B=k2*c*(-m2*(3*c
c2=A2+i*B2
z1(t)=(A1*cos((t)-B1*sin((t))+i*( A1*sin((t)+B1*cos((t))
z2(t)=(A2*cos((t)-B2*sin((t))+i*( A2*sin((t)+B2*cos((t))
q1(t)= A1*sin((t)+B1*cos((t)
q2(t)= A2*sin((t)+B2*cos((t)
A1=a1*cos(1 A2=a2*cos(2
B1=a1*sin(1 B2=a2*sin(2
a1,a2 - amplitudy wymuszonych drgań ustalonych układu
(1, (2-przesunuiecia drgań wymuszonych w odniesieniu do fazy siły
wymuszającej
ostatecznie a1:
Oznaczam:
]
]
=m1*m2=0,412776 [kg2]
Współczynnik wzmocnienia:
a1=P0*((()
Poszukuję teraz częstości rezonansowej:
A+B=0
=F(m1,m2,c,k1,k2) -spełnia poniższe równanie, jest więc
częstotliwością rezonansową.
6.Wnioski końcowe, analiza błędów:
Ae((t) [mm] At((t) [mm]
P0 (A[mm]
0,256 P0*0,479=0,256 0,535 0
0,258 P0*0,522=0,257 0,494 0,001
0,283 P0*0,644=0,283 0,44 0
0,303 P0*0,824=0,302 0,367 0,001
0,327 P0*1,862=0,325 0,175 0,002
0,281 P0*69,6=0,348 0,005 0,067
0,681 P0*0,906=0,68 0,751 0,001
0,09 P0*0,218=0,089 0,412 0,001
0,18 P0*0,021=0,005 0,266 0,175
0,23 P0*0,143=0,225 1,579 0,005
0,298 P0*0,437=0,298 0,683 0
0,345 P0*0,675=0,344 0,511 0,001
0,418 P0*1,16=0,418 0,361 0
0,464 P0*3,949=0,465 0,118 0,001
0,523 P0*2,573=0,522 0,203 0,001
0,595 P0*0,929=0,594 0,64 0,001
0,696 P0*0,55=0,695 1,265 0,001
0,838 P0*0,382=0,839 2,197 0,001
0,863 P0*0,287=0,658 2,296 0,205
0,772 P0*0,227=0,771 3,397 0,001
0,353 P0*0,101=0,345 3,421 0,008
0,219 P0*0,058=0,215 3,721 0,004
0,19 P0*0,039=0,187 4,804 0,003
Pomiar i obliczenia były wykonane poprawnie, ponieważ amplitudy
otrzymane drogą teoretyczną różnią się od tych otrzymanych drogą
doświadczalną w małym stopniu.
Otrzymana przeze mnie częstotliwość rezonansowa zawiera się w
częstotliwościach danych, co widać na wykresach.
