pobieranie: ciąga fizyka A0
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
ładunek punktowy
Wyznaczamy natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku
punktowego
Jeśli pole wytwarzane jest przez pojedynczy ładunek punktowy 0,to
nietrudno zauważyć, że będzie ono symetryczne względem punktu w
którym znajduje się ładunek.
W celu wyznaczenia pola elektrycznego posłużymy się prawem Gaussa
Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitemu ładunkowi zawartemu
wewnątrz tej powierzchni dzielonemu przez
Obliczenia:
Wnioski:
-w punktach równoległych od ładunku Q ,a więc we wszystkich punktach
sfery o promieniu r , gdzie r jest dowolną wartością natężenia pola
(jest taka sama );
-wektor natężenia pola ma kierunek promienia r sfery, a zwrot jego
zależy od znaku ładunku wytwarzającego pole;
-linie sił tego pola przebiegają promieniście i przebijają sferę o
promieniu r równomiernie
b)naładowana płaska powierzchnia
Gładka ,nie przewodząca naładowana powierzchnia nie skończona.
Powierzchnia ta naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniowa
Dla jednorodnego rozkładu.
W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
płaszczyzny posłużymy się prawem Gaussa:
Obliczenia :
Jako powierzchnię całkowania Gaussa S wygodnie jest tu wybrać
powierzchnię walca , którego tworząca jest prostopadła do badanej
płaszczyzny , a podstawy równoległe do niej ,przy czym leżą one po
obu jej stronach w jednakowych od niej odległościach r. Stosując
prawo Gaussa , mamy :
Z symetrii wynika , że wektor E przecina podstawy walca pod katem
prostym . Ponieważ wektor E nie przecina samej powierzchni walca (
) to strumień przechodzący przez nią jest równy 0
Wektor E jest równoległy do wektora (jednostkowego
Z tego wynika , że możemy opuścić wektory i działać na skalarach
Wnioski:
-natężenie pola elektrycznego jest jednakowe dla wszystkich punktów
po obu stronach płaszczyzny –natężenie pola elektrycznego nie
zależy od r , więc we wszystkich płaszczyznach równoległych do
naładowanej powierzchni jest takie samo
-we wszystkich punktach przestrzeni wektor E jest taki sam , oznacza to
, że pole jest jednorodne
c) Naładowana sfera o promieniu R
Na sferę wyznaczoną przez kulę o promieniu R rozłożony jest
ładunek elektryczny z gęstością powierzchniową
Przyjmując równomierny rozkład ładunku możemy zapisać:
W tym przypadku należy wyróżnić dwa obszary:
-zewnątrz sfery (r >R)
-wewnątrz sfery (r <R)
1.Zewnątrz sfery (r >R)
W celu znalezienia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
środka sfery 0 należy jako powierzchnię Gaussa S wybrać sferę o
promieniu r i geometrycznym środku w punkcie 0.Wyznaczając natężenie
pola skorzystamy z prawa Gaussa:
Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitemu ładunkowi zawartemu
wewnątrz tej powierzchni dzielonemu przez ,stosując prawo
Gaussa mamy:
Korzystając ze związku: G= =>E 4πr2=
Dla r =R E= -natężenie pola na powierzchni sfery .Jak widać
naładowana sfera wytwarza na zewnątrz takie samo pole jak ładunek
punktowy Q umieszczony w środku geometrycznym sfery.
2.Wewnątrz sfery (r <R). Wewnątrz powierzchni kulistej natężenie
pola jest równe 0,ponieważ nie ma tam pola elektr. Wynika to
bezpośrednio z prawa Gaussa ,gdyż obejmowany ładunek wynosi 0.
d) kula
Rozpatrujemy dielektryczną kulę o promieniu R, w której rozmieszczony
jest ładunek elektryczny Q z gęstością objętościową ,
.Kula nie może być przewodnikiem ,gdyż wtedy cały ładunek
znajdowałby się na powierzchni .Wyznaczając natężenie pola elektr.
pochodzące od kuli rozważmy 2 przypadki:
-natężenie badamy na zewnątrz kuli w odległości r od jej środka
tj. dla r >R
-natężenie badamy wewnątrz kuli w odległości r od jej środka tj.
dla r <R
1.Przypadek dla r >R (na zewnątrz kuli)
Środek kuli O stanowi środek symetrii pola. Jako powierzchnię Gaussa
S obieramy sferę o promieniu r i środku w punkcie Gaussa. Korzystając
z prawa Gaussa mamy :
E, ds = E,ds = E ds = E, 4, π, r2 =
E,4π,,r2 = /:4πr2
E =
2.Przypadek dla r <R ( wewn. kuli )
Dla ładunku znajdującego się wewnątrz powierzchni Gaussa możemy
napisać:
=Q(
Korzystając z obliczeń w pierwszym przypadku można napisać:
Dla r = R (powierzchnia kuli) wzory z obu przypadków dają tę samą
wartość natężenia pola
Wykres zależności natężenia pola od odległości
od środka jednorodnie naładowanej kuli. Wewnątrz kuli natężenie to
rośnie proporcjonalnie do odległości od środka kuli .Na zewn. maleje
odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości od środka kuli.
e) WALEC
Przyjmijmy ,że naszym walcem jest przewodnik o promieniu przekroju
naładowanego ładunkiem z gęstością liniową .
Pojęcie gęstości liniowej ładunku : dla jednorodnego
rozkładu mamy :
E II ds na powierzchni bocznej
E_ ds na podstawach
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec o promieniu r i wysokości l
zamknięty w obu końcach płaskimi podstawami .Korzystając z prawa
Gaussa możemy obliczyć natężenie pola w odległości r od środka
walca
Korzystając ze związku : => = mamy:
.Wewn.przewodnika nie ma pola,więc natężenie pola jest równe 0.
17.Obliczanie pojemności kondensatorów
kondensator płaski
Przyjmijmy ,że jedną z okładzin kondensatora płaskiego jest
naładowana powierzchnia płaska S ładunkiem z gęstością
powierzchniową C. Rozkład ładunku jest równomierny σ = , a
dla rozkładu równomiernego :σ = Dodatkowo przyjmijmy , że ta
powierzchnia naładowana jest ładunkiem dodatnim (+σ) .
W celu obliczenia natężenia pola elektr. w odległości r od płyty
skorzystamy z prawa Gaussa. Jako powierzchnię całkowania Gaussa S
wygodnie jest tu wybrać powierzchnię walca , którego tworząca jest
prostopadła do płyty , a podstawy są równoległe do niej ,przy czym
leżą one po obu jej stronach. Stosując prawo Gaussa mamy :
Na podstawach E , ds. = E, ds + 2 E, ds
Ns podstawach E ds – więc możemy opuścić wektory na
powierzchni bocznej E ds –wektor E nie przecina powierzchni bocznej
więc :
Korzystając dalej z prawa Gaussa mamy
ale :σ =
-natężenie pola pochodzącego od naładowanej płyty
Jeżeli do naszej dodatnio naładowanej płytki (+σ) zbliżymy drugą
identyczną , lecz naładowaną przeciwnie (-σ) w odległości d
jedna od drugiej , to cały ładunek przeniesie się na strony wewnątrz
płyt .Odległość między płytami (okładzinami) d musi być mała w
porównaniu do wielkości powierzchni S płyt ,gdyż wtedy pole elektr.
W każdym punkcie na zewnątrz pole elektr. wypadkowe równe jest
0,gdyż pola powstające od poszczególnych płyt mają natężenie
równe sobie lecz przeciwnie skierowane, więc się wzajemnie znoszą.
Tak się dzieje ,gdyż linie sił pola elektr. wytwarzanego przez
ładunki dodatnie będą miały zwrot od ładunku , a linie sił
wytworzone przez ładunki ujemne będą miały zwrot do ładunku.
Wewnątrz układu dwóch naładowanych okładzin natężenie pola
elektr. będzie dwukrotnie większe niż natężenie pochodzące od
pojedyńczej powierzchni ,gdyż w każdym punkcie pola elektryczne
dodają się. Więc Ewewn =2,
Znając już natężenie pola elektr. wewnątrz okładzin możemy teraz
obliczyć różnicę potencjałów (napięcie elektr.) między
okładkami kondensatora:
)
możemy wyznaczyć pojemność kondensatora płaskiego:
[F] Jak widać pojemność kondensatora płaskiego jest wprost
proporcjonalna do powierzchni okładzin S , a odwrotnie proporcjonalna
do odległości między okładzinami d .Pojemność zależy także od
dielektryka między okładzinami reprezentowanego przez ε0.
ciąga fizyka A0
ładunek punktowy
Wyznaczamy natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku
punktowego
Jeśli pole wytwarzane jest przez pojedynczy ładunek punktowy 0,to
nietrudno zauważyć, że będzie ono symetryczne względem punktu w
którym znajduje się ładunek.
W celu wyznaczenia pola elektrycznego posłużymy się prawem Gaussa
Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitemu ładunkowi zawartemu
wewnątrz tej powierzchni dzielonemu przez
Obliczenia:
Wnioski:
-w punktach równoległych od ładunku Q ,a więc we wszystkich punktach
sfery o promieniu r , gdzie r jest dowolną wartością natężenia pola
(jest taka sama );
-wektor natężenia pola ma kierunek promienia r sfery, a zwrot jego
zależy od znaku ładunku wytwarzającego pole;
-linie sił tego pola przebiegają promieniście i przebijają sferę o
promieniu r równomiernie
b)naładowana płaska powierzchnia
Gładka ,nie przewodząca naładowana powierzchnia nie skończona.
Powierzchnia ta naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniowa
Dla jednorodnego rozkładu.
W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
płaszczyzny posłużymy się prawem Gaussa:
Obliczenia :
Jako powierzchnię całkowania Gaussa S wygodnie jest tu wybrać
powierzchnię walca , którego tworząca jest prostopadła do badanej
płaszczyzny , a podstawy równoległe do niej ,przy czym leżą one po
obu jej stronach w jednakowych od niej odległościach r. Stosując
prawo Gaussa , mamy :
Z symetrii wynika , że wektor E przecina podstawy walca pod katem
prostym . Ponieważ wektor E nie przecina samej powierzchni walca (
) to strumień przechodzący przez nią jest równy 0
Wektor E jest równoległy do wektora (jednostkowego
Z tego wynika , że możemy opuścić wektory i działać na skalarach
Wnioski:
-natężenie pola elektrycznego jest jednakowe dla wszystkich punktów
po obu stronach płaszczyzny –natężenie pola elektrycznego nie
zależy od r , więc we wszystkich płaszczyznach równoległych do
naładowanej powierzchni jest takie samo
-we wszystkich punktach przestrzeni wektor E jest taki sam , oznacza to
, że pole jest jednorodne
c) Naładowana sfera o promieniu R
Na sferę wyznaczoną przez kulę o promieniu R rozłożony jest
ładunek elektryczny z gęstością powierzchniową
Przyjmując równomierny rozkład ładunku możemy zapisać:
W tym przypadku należy wyróżnić dwa obszary:
-zewnątrz sfery (r >R)
-wewnątrz sfery (r <R)
1.Zewnątrz sfery (r >R)
W celu znalezienia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
środka sfery 0 należy jako powierzchnię Gaussa S wybrać sferę o
promieniu r i geometrycznym środku w punkcie 0.Wyznaczając natężenie
pola skorzystamy z prawa Gaussa:
Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną
powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitemu ładunkowi zawartemu
wewnątrz tej powierzchni dzielonemu przez ,stosując prawo
Gaussa mamy:
Korzystając ze związku: G= =>E 4πr2=
Dla r =R E= -natężenie pola na powierzchni sfery .Jak widać
naładowana sfera wytwarza na zewnątrz takie samo pole jak ładunek
punktowy Q umieszczony w środku geometrycznym sfery.
2.Wewnątrz sfery (r <R). Wewnątrz powierzchni kulistej natężenie
pola jest równe 0,ponieważ nie ma tam pola elektr. Wynika to
bezpośrednio z prawa Gaussa ,gdyż obejmowany ładunek wynosi 0.
d) kula
Rozpatrujemy dielektryczną kulę o promieniu R, w której rozmieszczony
jest ładunek elektryczny Q z gęstością objętościową ,
.Kula nie może być przewodnikiem ,gdyż wtedy cały ładunek
znajdowałby się na powierzchni .Wyznaczając natężenie pola elektr.
pochodzące od kuli rozważmy 2 przypadki:
-natężenie badamy na zewnątrz kuli w odległości r od jej środka
tj. dla r >R
-natężenie badamy wewnątrz kuli w odległości r od jej środka tj.
dla r <R
1.Przypadek dla r >R (na zewnątrz kuli)
Środek kuli O stanowi środek symetrii pola. Jako powierzchnię Gaussa
S obieramy sferę o promieniu r i środku w punkcie Gaussa. Korzystając
z prawa Gaussa mamy :
E, ds = E,ds = E ds = E, 4, π, r2 =
E,4π,,r2 = /:4πr2
E =
2.Przypadek dla r <R ( wewn. kuli )
Dla ładunku znajdującego się wewnątrz powierzchni Gaussa możemy
napisać:
=Q(
Korzystając z obliczeń w pierwszym przypadku można napisać:
Dla r = R (powierzchnia kuli) wzory z obu przypadków dają tę samą
wartość natężenia pola
Wykres zależności natężenia pola od odległości
od środka jednorodnie naładowanej kuli. Wewnątrz kuli natężenie to
rośnie proporcjonalnie do odległości od środka kuli .Na zewn. maleje
odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości od środka kuli.
e) WALEC
Przyjmijmy ,że naszym walcem jest przewodnik o promieniu przekroju
naładowanego ładunkiem z gęstością liniową .
Pojęcie gęstości liniowej ładunku : dla jednorodnego
rozkładu mamy :
E II ds na powierzchni bocznej
E_ ds na podstawach
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec o promieniu r i wysokości l
zamknięty w obu końcach płaskimi podstawami .Korzystając z prawa
Gaussa możemy obliczyć natężenie pola w odległości r od środka
walca
Korzystając ze związku : => = mamy:
.Wewn.przewodnika nie ma pola,więc natężenie pola jest równe 0.
17.Obliczanie pojemności kondensatorów
kondensator płaski
Przyjmijmy ,że jedną z okładzin kondensatora płaskiego jest
naładowana powierzchnia płaska S ładunkiem z gęstością
powierzchniową C. Rozkład ładunku jest równomierny σ = , a
dla rozkładu równomiernego :σ = Dodatkowo przyjmijmy , że ta
powierzchnia naładowana jest ładunkiem dodatnim (+σ) .
W celu obliczenia natężenia pola elektr. w odległości r od płyty
skorzystamy z prawa Gaussa. Jako powierzchnię całkowania Gaussa S
wygodnie jest tu wybrać powierzchnię walca , którego tworząca jest
prostopadła do płyty , a podstawy są równoległe do niej ,przy czym
leżą one po obu jej stronach. Stosując prawo Gaussa mamy :
Na podstawach E , ds. = E, ds + 2 E, ds
Ns podstawach E ds – więc możemy opuścić wektory na
powierzchni bocznej E ds –wektor E nie przecina powierzchni bocznej
więc :
Korzystając dalej z prawa Gaussa mamy
ale :σ =
-natężenie pola pochodzącego od naładowanej płyty
Jeżeli do naszej dodatnio naładowanej płytki (+σ) zbliżymy drugą
identyczną , lecz naładowaną przeciwnie (-σ) w odległości d
jedna od drugiej , to cały ładunek przeniesie się na strony wewnątrz
płyt .Odległość między płytami (okładzinami) d musi być mała w
porównaniu do wielkości powierzchni S płyt ,gdyż wtedy pole elektr.
W każdym punkcie na zewnątrz pole elektr. wypadkowe równe jest
0,gdyż pola powstające od poszczególnych płyt mają natężenie
równe sobie lecz przeciwnie skierowane, więc się wzajemnie znoszą.
Tak się dzieje ,gdyż linie sił pola elektr. wytwarzanego przez
ładunki dodatnie będą miały zwrot od ładunku , a linie sił
wytworzone przez ładunki ujemne będą miały zwrot do ładunku.
Wewnątrz układu dwóch naładowanych okładzin natężenie pola
elektr. będzie dwukrotnie większe niż natężenie pochodzące od
pojedyńczej powierzchni ,gdyż w każdym punkcie pola elektryczne
dodają się. Więc Ewewn =2,
Znając już natężenie pola elektr. wewnątrz okładzin możemy teraz
obliczyć różnicę potencjałów (napięcie elektr.) między
okładkami kondensatora:
)
możemy wyznaczyć pojemność kondensatora płaskiego:
[F] Jak widać pojemność kondensatora płaskiego jest wprost
proporcjonalna do powierzchni okładzin S , a odwrotnie proporcjonalna
do odległości między okładzinami d .Pojemność zależy także od
dielektryka między okładzinami reprezentowanego przez ε0.
