mechanics.pl

Przeglądaj wersję html pliku:

MES ściąga

1.DEFINICJA STANU ODKSZTAŁCENIA 1.DEFINICJA STANU NAPRĘŻENIA W dowolnym punkcie przekroju A na elementarna powierzchnię Da działa siła wewn dF będąca siłą przypadająca na jednostkę powierzchni przekroju. Wektor naprężenia g zarówno co do wielkości jak i kierunku zależy od położenia elementarnego przekroju Da. Naprężenie charakteryzują takie wielkości jak siła i pole na jakim działa ta siła. Przykład:

Jeżeli M’ i M będą nieskończenie blisko to przemieszczenia rozwijają w szereg Taylora ߲‫ݑ‬ ߲‫ݑ‬ ߲‫ݑ‬ ‫ݑ‬ᇱ ൌ ‫ ݑ‬൅ ݀‫ ݔ‬൅ ݀‫ ݕ‬൅ ݀‫ݖ‬ ߲‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݖ‬ ߲‫ݒ‬ ߲‫ݒ‬ ߲‫ݒ‬ ‫ݒ‬ᇱ ൌ ‫ ݒ‬൅ ݀‫ ݔ‬൅ ݀‫ ݕ‬൅ ݀‫ݖ‬ ߲‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݖ‬ ߲‫ݑ‬ ߲‫ݑ‬ ߲‫ݑ‬ ‫ݑ‬ᇱ ൌ ‫ ݑ‬൅ ݀‫ ݔ‬൅ ݀‫ ݕ‬൅ ݀‫ݖ‬ ߲‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݖ‬ Możemy zbudować elementy prostopadłościanu ത ത ܲ ൌ ܲ‫݊ݔ‬ଓҧ ൅ ܲ‫݊ݕ‬ଔҧ ൅ ܲ‫݇݊ݖ‬ Równania statystyki: ܲ‫ ܣ כ ݊ݔ‬ൌ ߪ‫ ݔܣ כ ݔ‬൅ ł‫ ݕܣ כ ݔݕ‬൅ ł‫ ݔݖ‬൅ ‫ܣ :/ݖܣ‬ ‫ݔܣ‬ ‫ݕܣ‬ ‫ݖܣ‬ ܲ‫ ݊ݔ‬ൌ ߪ‫כ ݔ‬ ൅ ł‫כ ݔݕ‬ ൅ ł‫ ݖ‬൅ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ݔܣ‬ ൌ cosሺ‫݊ ,ݔ‬ሻ ൌ ݈ ‫ܣ‬ ‫ݕܣ‬ ൌ cosሺ‫݊ ,ݕ‬ሻ ൌ ݉ ‫ܣ‬ ‫ݖܣ‬ ൌ cosሺ‫݊ ,ݖ‬ሻ ൌ ݊ ‫ܣ‬ ෍ ܲ‫ ݔ‬ൌ 0 ՜ ܲ‫ ݊ݔ‬ൌ ߪ‫ ݈ כ ݔ‬൅ ł‫ ݉ כ ݔݕ‬൅ ł‫݊ כ ݔݖ‬ ߪ‫ ݔ‬ł‫ ݕ‬ł‫ݔݖ‬ ܲ‫݊ݔ‬ ݈ ൥ܲ‫ ݊ݕ‬൩ ൌ ൥ł‫ ݕߪ ݕݔ‬ł‫ݕݖ‬൩ ൥݉ ൩ ł‫ ݖݔ‬ł‫ ݖݕ‬ł‫݊ ݖ‬ ܲ‫݊ݖ‬ |ܲ| ൌ ඥܲ‫ ݕݔ‬ଶ ൅ ܲ‫ ݊ݕ‬ଶ ൅ ܲ‫ ݊ݖ‬ଶ തതതത തതതത ഥ ܲ݊ ൌ ߪ݊ ൅ ł݊ ܲ݊ ଶ ൌ ߪ݊ ଶ ൅ ł݊ ଶ ł݊ ൌ 0 ܲ݊ ൌ ߪଵ ൌ ߪ Odkształcenia wynoszą odpowiednio ߲‫ݑ‬ ܽ1ܾ2 െ ܾܽ ቀ‫ ݑ‬൅ ߲‫ ݔ݀ ݔ‬െ ‫ݑ‬ቁ െ ݀‫ݑ߲ ݔ‬ ൌ ൌ ‫ ݔܧ‬ൌ ݀‫ݔ‬ ܾܽ ݀‫ݔ‬ ߲‫ݒ‬ ܽ1ܿ2 െ ܽܿ ൬‫ ݒݒ‬൅ ߲‫ ݕ݀ ݔݕ‬൅ ݀‫ ݕ‬െ ‫ݒ‬൰ െ ݀‫ݒ߲ ݕ‬ ‫ ݕܧ‬ൌ ൌ ൌ ܽܿ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ߲‫ݑ‬ ܿ1ܿ2 ൬‫ ݑ‬൅ ߲‫ ݕ݀ ݕ‬െ ‫ݑ‬൰ ‫ן ݃ݐ‬ൌ ൌ ߲‫ݒ‬ ܽ1ܿ2 ‫ݒ‬൅ ݀‫ ݔ‬െ ‫ݒ‬ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݒ‬ ߲‫ݑ‬ ߲‫ݒ‬ ‫ן ݃ݐ‬ൌ , ‫ן ݃ݐ‬ൎ‫,ן‬ ‫ן‬ൌ , ߚൌ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݔ‬ Kąt odkształcenia postaciowego ߲‫ݒ߲ ݑ‬ ߛ௫௬ ൌ ߙ ൅ ߚ ൌ ൅ ߲‫ݔ߲ ݕ‬ ෍ ܲ‫ ݕ‬ൌ 0 ՜ ܲ‫ ݊ݕ‬ൌ ł‫ ݈ כ ݕݔ‬൅ ߪ‫ ݉ݕ‬൅ ł‫݊ כ ݕݖ‬ ෍ ܲ‫ ݖ‬ൌ 0 ՜ ܲ‫ ݊ݖ‬ൌ ł‫ ݈ כ ݖݔ‬൅ ł‫ ݖݕ‬൅ ߪ‫݊ݖ‬ ෍ ܲ‫ ݔ‬ൌ 0

2.ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIEM A PRZEMIESZCZENIEM Są to związki Cauchiego: ߲‫ݒ߲ ݑ‬ ߲‫ݑ‬ ߛ௫௬ ൌ ൅ ‫ ݔܧ‬ൌ ߲‫ݔ߲ ݕ‬ ߲‫ݑ‬ ߲‫ݒ‬ ߲‫ݓ߲ ݒ‬ ‫ ݕܧ‬ൌ ߛ௬௭ ൌ ൅ ߲‫ݕ‬ ߲‫ݕ߲ ݖ‬ ߲‫ݓ‬ ߲‫ݑ߲ ݓ‬ ‫ ݖܧ‬ൌ ߛ௭௫ ൌ ൅ ߲‫ݖ‬ ߲‫ݖ߲ ݔ‬ Macierzowo

Ex=డ௫ ߛ௫௬ ൌ డ௬ ൅ డ௫
డ௨ డ௩

Ex=డ௬ ߛ௬௭ ൌ డ௭ ൅ డ௬ Ex= డ௭ ߛ௭௫ ൌ
డ௪ డ௩ డ௪ డ௫

డ௨

2.MACIERZ ORTOGONALNA: jest to macierz kwadratowa dla której zachodzi zależność: T -1 [A] =[A] Jest ortogonalna jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana 1,2 െ0,3 ܿ‫ݔ݊݅ݏݔ ݔݏ݋‬ ቂ ቃ; ቂ ቃ 0,3 1,2 െ‫ݔݏ݋ܿ ݔ݊݅ݏ‬ 3. WŁASNOŚCI MACIERZY SZTYWNOŚCI: Globalna macierz sztywności-operator, który wiąże ze sobą wektor przemieszczeń węzłowych dla wszystkich węzłów rozważanego układu z wektorem wszystkich przyłożonych wewnętrznie sił węzłowych. Cechy macierzy sztywności: * macierz kwadratowa - taka sama ilość wierszy i kolumn T * macierz symetryczna A=A , czyli symetria względem głównej przekątnej) * macierz pasmowa SP=(1+nr)*ndf; nr- max. różnica w numeracji tego samego elementu ndf- liczba stopni swobody węzła. 4.ELEMENT DOSTOSOWANY: Element dostosowany to taki, którego funkcja kształtu spełnia następujące warunki: - zapewniają ciągłość przemieszczeń wewnętrznych elementów oraz ich zgodność na brzegach elementów, - możliwość opisywania stałych odkształceń a tym samym naprężeń wewnętrznych elementu występujących przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów, jest to tzw. kryterium stałych odkształceń, - możliwość opisywania stałych przemieszczeń elementów a więc jego ruch jako ciała stałego 6.SZEROKOŚĆ PÓŁPASMA: Zależy od liczby węzłów i liczby stopni swobody w węźle: sp =(nr+1)*ndt nr-maks. różnica w opisie numeracji węzłów jednego elementu ndt- liczba stopni swobody w węźle

൅ డ௭

డ௪

డ௩

డ௨

‫ݑ‬ ሾ‫ݑ‬ሿ ൌ ቈ ‫ ݒ‬቉ ‫ݓ‬ 3.ZWIĄZKI MIEDZY ODKSZTAŁCENIAMI A NAPRĘŻENIEM ߪ‫ ݔ‬െ ߪś‫ݎ‬ ł‫ݕݔ‬ ł‫ݖݖ‬ ߪ‫ ݕ‬െ ߪś‫ݎ‬ ł‫ ݖݕ‬቏ ቎ ł‫ݖݕ‬ ł‫ݔݖ‬ ł‫ݕݖ‬ ߪ‫ ݖ‬െ ߪś‫ݎ‬ 1 1 ‫ ݔܧۍ‬െ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬ ߛ‫ݕݔ‬ ߛ‫ې ݖݔ‬ 2 2 ‫ێ‬ ‫ۑ‬ 1 1 ൌ 2‫ێ ܩ‬ ߛ‫ݔݕ‬ ‫ ݕܧ‬െ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬ ߛ‫ۑ ݖݕ‬ 2 ‫2 ێ‬ ‫ۑ‬ 1 ‫1 ێ‬ ‫ۑ‬ ߛ‫ݔݖ‬ ߛ‫ݕݖ‬ ‫ ݖܧ‬െ ‫ܧ‬ś‫ے ݎ‬ ‫2 ۏ‬ 2 ߪś‫ݎ‬ 0 0 ‫ܧ‬ś‫ݎ‬ 0 0 ‫ܧ‬ ൥ 0 ൥ 0 ߪś‫ݎ‬ 0 ൩ൌ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬ 0 ൩ 1 െ 2ߴ 0 0 ߪś‫ݎ‬ 0 0 ‫ܧ‬ś‫ݎ‬ 1 ‫ ݔܧ‬ൌ ሾߪ‫ ݔ‬െ ߴሺߪ‫ ݕ‬െ ߪ‫ݖ‬ሻሿ ‫ܧ‬ 1 ‫ ݕܧ‬ൌ ሾߪ‫ ݕ‬െ ߴሺߪ‫ ݔ‬െ ߪ‫ݖ‬ሻሿ ‫ܧ‬ 1 ‫ ݖܧ‬ൌ ሾߪ‫ ݖ‬െ ߴሺߪ‫ ݔ‬െ ߪ‫ݕ‬ሻሿ ‫ܧ‬ ł‫ݕݔ‬ ł‫ݖݕ‬ ł‫ݔݖ‬ ߛ‫ ݕݔ‬ൌ ߛ‫ ݖݕ‬ൌ ߛ‫ ݕݔ‬ൌ ߪ ߪ ߪ ‫ܧ‬ ‫ܩ‬ൌ 2ሺ1 ൅ ߴሻ 3ߴ ‫ ݔܩ‬ൌ 2‫ ܩ‬൬‫ ݔܧ‬൅ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬൰ 1 െ 20 3ߴ ‫ ݕܩ‬ൌ 2‫ ܩ‬൬‫ ݕܧ‬൅ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬൰ 1 െ 20 ł‫ ݕݔ‬ൌ ‫ߛ כ ܩ‬௫௬ ł‫ ݖݕ‬ൌ ‫ߛ כ ܩ‬௬௭ ł‫ ݔݖ‬ൌ ‫ߛ כ ܩ‬௭௫ ‫ ݖܩ‬ൌ 2‫ ܩ‬൬‫ ݖܧ‬൅ 3ߴ ‫ܧ‬ś‫ݎ‬൰ 1 െ 20

czyli ሾ‫ܧ‬ሿ ൌ ሾ∆ሿ் ሾ‫ݑ‬ሿ

‫ ۍ‬డ௫ 0 0 ‫ې‬ ‫ݔܧ‬ డ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ‫ 0 ێ ې ݕܧ ۍ‬డ௬ 0‫ۑ‬ ‫ێ‬ ‫ێ ۑ‬ డ‫ݑ ۑ‬ ‫ݖܧ‬ ‫ێ‬ ‫0 0ێ ۑ‬ ‫ۑ‬ ߛ‫ ݕݔ‬ൌ ‫ ێ‬డ డ డ௭ ‫ ۑ‬ቈ ‫ ݒ‬቉ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ 0 ‫ݓ‬ ‫ ێ ۑݖݕߛ ێ‬డ௬ డ௫ ‫ۑ‬ ‫ 0 ێ ے ݔݖߛ ۏ‬డ డ ‫ۑ‬ . ‫ ێ‬డ௭ డ௬ ‫ۑ‬ ‫ے ݔ߲ 0 ݖ߲ۏ‬
డ

1 ‫ܧ‬ś‫ ݎ‬ൌ ሺߪ‫ ݔ‬൅ ߪ‫ ݕ‬൅ ߪ‫ݖ‬ሻ 3 6.OGÓLNY WZÓR NA MACIERZ SZTYWNOŚCI EL.SKOŃCZONEGO

ndf=2 nr=9 sp=(1+9)*2=20 7.ELEMENT IZOPARAMETRYCZNY: Jeżeli do opisu funkcji kształtu używa się tych samych elementów, co do geometrii to mówimy o elemencie izoparametrycznym. Węzły są wykorzystane do opisu geometrii i funkcji kształtu. Główną ideą formułowania elementu izoparametrycznego jest wyznaczenie funkcji kształtu, określających relację pomiędzy przemieszczeniami elementu i przemieszczeniami jego węzłów w sposób bezpośredni, bez konieczności obliczania macierzy h^-1. Ten układ może być układem jedno, dwu lub trój wymiarowym w zależności od wymiaru elementu. Zastosowanie tych samych funkcji kształtu, zdefiniowanych we współrzędnych naturalnych, do współrzędnych elementu jego przemieszczeń stanowią podstawę sformułowania izoparametrycznych elementów skończonych.

ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ නሾ‫ܤ‬ሿ் ሾ‫ܦ‬ሿሾ‫ܤ‬ሿ݀‫ݒ‬
௩

uzi-jest to przemieszczenie w węźle i w kierunku osi z uz=[Nze]*[Uze] Nze-funkcja kształtu elementu 1 ߨሺ‫ݑ‬ሻ ൌ ሾܷ݁ሿ் ‫ כ‬ሾ‫ ܭ‬ᇱሿሾܷ݁ሿ െ ሾ‫݁ܨ‬ሿ் ሾܷ݁ሿ 2

Ogólny wzór macierzy sztywności el skończonego W końcowej macierzy sztywności poszczególne kolumny macierzy sztywności przedstawiają wartości sił w wezlach spowodowane odpowiednim przemieszczeniem jednostkowym przy pozostałych przemieszczeniach równe zero.

Lokalne macierze sztywności ா஺ ሾ‫1ܭ‬ሿ ൌ ቂ݇11 ݇12 ቃ ሾ‫1ܭ‬ሿ ൌ ቂ 1 െ1ቃ ௟ െ1 1 ݇21 ݇22 2‫ 1 ܣܧ‬െ1 ሾ‫2ܭ‬ሿ ൌ ቂ݇22 ݇23 ቃ ሾ‫1ܭ‬ሿ ൌ ቂ ቃ ݇32 ݇33 ݈ െ1 1 Globalna macierz sztywności ݇11 ݇12 0 ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ൥݇21 ሺ݇22 ൅ ݇22ሻ ݇23 ൩ 0 ݇32 ݇33 ‫ܣܧ‬ ‫ۍ‬ ‫݈ ێ‬ ‫ܣܧ‬ ሾ‫ܭ‬ሿ ൌ ‫ێ‬െ ‫݈ ێ‬ ‫ێ‬ ‫0 ۏ‬ ሺ ‫ܣܧ‬ െ 0 ‫ې‬ ݈ ‫ۑ‬ ‫ܣܧ2 ܣܧ‬ 2‫ۑ ܣܧ‬ ൅ ሻ െ ݈ ݈ ݈ ‫ۑ‬ 2‫ܣܧ‬ 2‫ۑ ܣܧ‬ െ ݈ ݈ ‫ے‬

ሾKሿ*ሾUሿൌሾPሿ

‫ܣܧ‬ ‫ܣܧ‬ ‫ۍ‬ െ 0 ‫ې‬ ݈ ‫݈ ێ‬ ‫1ܷ ۑ‬ ܲ1 ‫ێ‬െ ‫ ܣܧ3 ܣܧ‬െ 2‫ ۑ ܣܧ‬൥ܷ2൩ ൌ ൥ܲ2൩ ݈ ݈ ‫3ܷ ۑ‬ ‫݈ ێ‬ ܲ3 2‫ۑ ܣܧ2 ܣܧ‬ ‫ێ‬ െ ‫0 ۏ‬ ݈ ݈ ‫ے‬ U1ൌU3ൌ0 P2ൌP ܲ‫݈כ‬ ܷ2 ൌ 3‫ܣܧ‬