pobieranie: mechanika pojecia sciaga
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
POJECIA Z ZAKRESU MECHANIKI KLASYCZNEJ - Politechnika Szczecinska 2004
* Punkt materialny - punkt geometryczny, w ktorym skupiona jest cala
masa ciala rzeczywistego
(model ciala rezcywistego o malych wymiarach wobec otaczajacej go
przestrzeni).
* Bryla nieodksztalcalna - idealnie sztywna - jest to model ciala
rzeczywistego w ktorym wzajemne odleglosci
punktow nie ulegaja zmianie.
* Uklad mechaniczny - zbior punktow materialnych i bryl
nieodksztalcalnych w ktorym ruch jedenego elementu
zalezy scisle od ruchu pozostalych elementow zbioru.
* Zbior punktow materialnych - chodzi o to ze np. bryle mozna podzielic
na nieskonczenie wiele malych wartosci dv.
* Contiuum materialne - materia jest rozlozona w sposob ciagly.
* Czas absolutny - ustanawia kolejnosc zachodzenia zjawisk (od wstecz do
przodu , czas tylko naprzod)
* Mechanika dzieli sie na :
- statyka - zajmuje sie badaniem rownowagi cial
- kinematyka - zajmuje sie badaniem ruchu, bez przyczyn wywolujacych
ten ruch
- dynamika - zajmuje sie badaniem zwiazkow miedzy ruchem a przyczynami
wywolujacymi ten ruch
* Rownowaga cial - stan spoczynku, lub stan w ktorym cialo porusza sie
ruchem jednostajnym po lini
prostej (Ciala na siebie wzajemnie oddzialywuja, te oddzialywania
mogace doprowadzic do odksztalcen
nazywane sa silami)
* Rodzaje Sil:
- o rozkladzie liniowym
- objetosciowe
- skupione
- o rozkladzie powierzchniowym
- wewnetrzne - np. miedzyczzasteczkowe przyciaganie
- zewnetrzne - pochodzace od zewnatrz
- bierne
- czynne
* Zasady statyki:
- zasada rownolegloboku - siel wypadkowa wyznaczamy geometrycznie badz
ze wzoru
W = pierw (P1^2 + P2^2 + 2*P1*P2 * cos u)
dla kata 180 stopni pomiedzy silami wzor ma postac W = P1 - P2
* Zerowy uklad sil - Dwie sily przylozone do jedenj bryly
nieodksztalcalnej rownowaza sie jezeli
dzialaja wzdluz jednej prostej , zwroty beda mialy przeciwne, a
wartosc identyczna
* Dzialanie sil nie ulegnie zmianie jesli dodamy lub odejmiemy zerowy
uklad sil. Bryla moze byc
pod wplywem tych sil w:
- rownowadze
- spoczynku
- ruchu
Dzialanie sily nie ulega zmianie jesli sila zostanie przesunieta w
kierunku (wzdluz) lini dzialania sil.
* Zasada zesztywnienia - rownowaga ukladu sil dzialajacych na cialo nie
odksztalcalne ,jezeli cialo myslowo
zesztywnimy.
* Zasada akcji i reakcji - dwa dowolne ciala oddzialywuja na siebie
silami o tym samym kierunku, tej samej
wartosci, lecz przeciwnych zwrotach.
Fba = Fab
* Zasada uwalniania od wiezow - kazde nie swobodne cialo mozna myslowo
uwolnic od wiezow. Dzialania wiezow
mozna zastapic silami (reakcjami) i nastepnie rozpatrywac je jako
cialo swobodne na ktore dzialaja sily
czynne (zewnetrzne) , bierne (reakcje), np od innego ciala.
* Cialo swobodne - ma 6 stopni swobody.
* Wiezy - nazywamy nimi ograniczenia ruchu ciala.
* Wiezy idealne - wiezy w ktorych pominieto sily tarcia.
* Rodzaje wiezow :
- swobodne podparcie - przykladowo gdy bryla nieodksztalcalna leze na
podlozu, to aby pozbawic ja wiezow
prowadzimy prosta styczna do krawedzi tej bryly, natomiast sila
dzialania tej bryly , zarowno jak i sila
reakcji musi byc prostopadla do tej stycznej.
- wiotkie ciegno - nie moze przenosic sil sciskajacych, bocznych , moze
przenosic tylko sily rozciagajace.
uwalniajac od wiezow bryle zawieszona np. na takim ciegnie, przecinamy
wdluz tego ciegna dziala sila wiotkiego
ciegna S, bedaca reakcja ciala na dzialanie tego ciegna., oprocz tego
cialo posiada tez druga sile sile G grawitacji.
* Zasada superpozycji - sily dzialace w kirunku x nie maja wplywu na
sily dzialajace w kierunku y.
* Plaski zbiezny uklad sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
W = P1 + P2 + ... + Pn
W = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Pi
Wx + Wy = P1x + P1y + ... ... + Pnx + Pny (gdzie Wx to rzut wektora W
na os x)
(te zapisy sa juz algebraiczne)
Skrocona postac:
Wx = P1x + P2x + ... + Pnx = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n)
z Pix
Wy = P1y + P2y + ... + Pny = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n)
z Piy
W = pierw (Wx^2 + Wy^2) = pierw [(Sigma Pix)^2 + (Sigma Piy)^2] -
modul wypadkowy
tg a = Wy / Wx
* Warunki rownowagi zbieznego plaskiego ukladu sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
Mowi o tym geometryczny warunek rownowagi W=0 (wektor zerowy
wartosc=0)
Jezli W=0 to modul wektora W musi byc rowny 0. Analityczne warunki
rownowagi
plaskiego zbieznego ukladu sil wygladaja nastepujaco:
Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Pix = 0
Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Piy = 0
Czyli suma rzutow sil na os y=0 i suma rzutow na os x=0.
* Twierdzenie o 3 silach - Trzy sily lezace w jednej plaszczyznie
nierownolegle beda w rownowadze, jezeli
linie dzialania sil przecinaja sie w 1 punkcie a wielobok sil jest
zamkniety.
* Zbiezny przestrzenny uklad sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
W = P1 + P2 + ... + Pn
Wx + Wy + Wz = P1x + P1y + P1z + ... ... + Pnx + Pny + Pnz (gdzie Wx
to rzut wektora W na os x)
(te zapisy sa juz algebraiczne)
Skrocona postac:
Wx = Sigma Pix
Wy = Sigma Piy
Wz = Sigma Piz
W = pierw (Wx^2 + Wy^2 + Wz^2) - modul wypadkowy
cos a = Wx / W
cos b = Wy / W
cos y = Wz / W
* Warunki rownowagi przestrzennego zbieznego ukladu sil:
W=0 (geometryczne)
Analityczne warunki rownowagi
Sigma Pix = 0
Sigma Piy = 0
Sigma Piz = 0 - suma rzutu sil na osie x,y,z musi byc rowna 0.
* Moment - sila * ramie
* Para sil - dwie sily rownolegle o tych samych wartosciach i
przeciwnych zwrotach.
* Wlasnosci pary sil:
- rzut pary sil na dowolna os jest rowny zeru,
- moment pary sil nie zalezy od punktu wzgledem ktorego go liczymy i
jest rowny iloczynowi modulu jednej
z sil razy odleglosc pomiedzy liniami dzialania sil (moment pary sil
jest wektorem swobodnym,
- kazda pare sil mozna zastapic inna para sil zachowujac moment
niezmieniony.
* Moment sily wzgledem punktu:
M = r * F , M = P * r * sin y = P * a - r to wektor od pkt. O
do miejsca przylozenia sily F.
* Moment sily wzgledem dowolnej osi - nazywamy moment rzutu P' sily P na
plaszczyzne prostopadla do osi l,
mierzony wzgledem punktu przebicia tej osi z plaszczyzna.
* Aby obliczyc moment pary sil , obieramy dowolny punkt a nastepnie od
niego prowadzimy ramiona do pary sil,
i w takim ukladzie momentem pary sil jest iloczyn pary sil i modulu
ramienia pary sil.
(ponizsze zapisy sa geometryczne)
M = r1 * P1 + r2 * P2
(algebraicznie)
M = (r1 - r2) * P1 * sin a
M = (r1 - r2) * P1 * sin (180-b) = (r1 - r2) * P1 * sin b
* Redukcja sily do wybranego punktu - jezeli np chcemy zredukowac sile P
dzialajaca z pkt A do pkt B, t w tym
celu od punktu B wprowadzamy zerowy uklad sil (dwojka zerowa) np
P'=P'' gdzie obie sa rownolegle do P, w ten
sposob tworzy sie nam Para Sil, nastepnie pare sil P i P' (obie maja
przeciwne zwroty) mozemy zastapic
momentami, kierunek momentu z pkt. B jest narzucony z gory i jest on
prostopadly do plaszczyzny na ktorej lezy
sila P''.
* Warunki geometryczne rownowagi plaskiego ukladu sil:
(ponizsze zapisy sa geometryczne)
W = P1 + P2 + ... + Pn
Ms = Ms1 + Ms2 + ... + Ms3
W =/ 0 , Ms =/ 0
W =/ 0 , Ms = 0
W = 0 , Ms =/ 0 - w tych 3 przypadkach nie ma rownowagi
W = 0 , Ms = 0 - w tym przypadku zachodzi rownowaga
Analityczne warunki rownowagi (algebraicznie)
Sigma Mia = 0 Sigma Piy = 0 Sigma Mia = 0
Sigma Pix = 0 Sigma Mia = 0 Sigma Mib = 0
Sigma Piy = 0 Sigma Mib = 0 Sigma Mic = 0
* Tarcie
- Tarcie posuwiste - mowa o tarci w momencie gdy sila tarcia Tmax
przekroczy sile nacisku N. Tmax = u * N
T <= u * N
- Tarcie slizgowe - przykladem takiego tarcia jest tarcie ciegna o
krazek.
- Tarcie potoczyste
jezeli Sigma Mia = 0 to F*r - N*f = 0 ,a F musi byc > od (N*f)/r
gdzie F to sila pchajaca np. toczaca sie kule, natomiast f- to
wspolczynnik tarcia bocznego, o to f jest
przesuwane N, czyli sila nacisku podloza na kule,(sila reakcji na
nacisk wywolany sila grawitacji G).
Z ostatniego wzoru wynika ze gdy promien jest wiekszy to latwiej
przemieszczac kule.
* Wspolczynnik tarcia jest zalezny od:
- stanu powierzchni (zalezy od sposobu obrobienia powierzchni,
chropowatosci , obrobka przez szlifowanie
i frezowanie) latwiej sie slizga po powierzchni szlifowanej, bo jest
ona pofalowana a po frezowaniu sa
mniejsze zalamania, ale znacznie ostzrejsze.
- rodzaju powierzchni tracych
- od smarowania
- od temperatury
Tarcie kinetyczne jest mniejsze od statycznego.
Drugie prawo dynamiki Newtona – m a = P , a = (sigma od 1 do n) z a
(z indeksem i ,wektorowe) , Przyśpieszenie punkt materialnego na które
działają siły P1 ... Pn równe jest sumie geometrycznej
przyśpieszeń które miałyby ten punkt gdyby każda z tych sił
działała osobno.
Bezwładnościowy (inercjalny układ odniesienia) – Taki w którym
słuszne są prawa Newtona . Jest to taki układ odniesienia mający
przyśpieszenie równe 0.tj będący w spoczynku, lub poruszający się
ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Zasada d’Alemberta – (równowagi dynamicznej) Siła skierowana
przeciwnie do przyśpieszenia. Siła rzeczywista działająca na punkt
materialny równoważy się w każdej chwili z siłą bezwładności
tego punktu. Zasada jest słuszna dla punktu nieswobodnego... P + R + A
= 0 (wektorowe)
Ruch względny punktu materialnego – Ruch punktu M względem układu
(h, eta, zeta) a tym samym względem ruchomej bryły nazywamy ruchem
względnym.
Ruch bezwzględny punktu materialnego – ruch punktu M względem
nieruchomego układu x,y,z nazywamy ruchem bezwzględnym.
Ruch unoszenia – ruch układu h, eta, zeta względem układu x,y,z (a
tym samym bryły) nazywamy ruchem unoszenia. Vm = U + W (wektorowe)
gdzie W – prędkość względna , U – prędkość unoszenia , V –
p. bezwzględna.
Przykład: rzeka , gdzie am = au + aw + ac , am – p. bezwzględne, ac
– p. coriolisa ,
Drgania punktu materialnego – drganiem lub ruchem drgającym nazywamy
ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenie równowagi stałej
punktu materialnego. Jeżeli ten ruch ma charakter okresowy tj. że po
pewnym okresie czasu T (zwanym okresem ruchu) punkt doznaje tego samego
wychylenia, to ruch drgający nazywamy. Ruchem okresowym. x * (t + T) =
x(T), t - dowolna chwila.
Podział drgań : a) podłużne , b) poprzeczne c) skrętne
Podział drgań ze względu na przyczyny wywołujące je :
swobodne (własne) – wywołane jednorazowym wytrąceniem punktu
materialnego z położenia równowagi
sprężystej, po czym punkt sam wykonuje drgania , bądź działają
siły sprężystości.
Dzielą się a drgania swobodne tłumione i nie tłumione. Przy
swobodnych tłumionych pojawia się wyróżnik równania
charakterystycznego, i w zależności od jego wartości mamy 3
przypadki:
sigma > w0 tłumienie nadkrytyczne
sigma = w0 tłumienie krytyczne
sigma < w0 tłumienie podkrytyczne
wymuszone - drgania wywołane siłami zewnętrznymi zmieniającymi się
w czasie.
parametryczne – drgania spowodowane okresową zmianą parametrów w
czasie (np. zmianą sztywności)
samo wzbudne – drgania wzbudzane przez siły spowodowane samym ruchem
(np. przez siły tarcia)
Drgania swobodne i wymuszone mogą być tłumione w skutek występowania
oporów ruchu)
Główne założenia dotyczące drgań są następujące:
pomijamy masę sprężyny
siły sprężystości są proporcjonalne do wychylenia (słuszne dla
małych wychyleń) F * s = k * x
siły oporu (tłumienia) są proporcjonalne do pierwszej pochodnej
prędkości
Moc – praca wykonana w jednostce czasu 1J = 1N * 1m = N * m , 1J = 1 W
/ 1 s , 1 KM =736 W
Potencjalne (zachowawcze) pole sił – Polem nazywamy obszar w którym
każdemu punktowi tego obszaru, przyporządkowana jest jednoznacznie
określona wartość liczbowa, pewnej wielkości fizykalnej. W tym polu
praca zależy od położenia początkowego i końcowego. Praca w takim
polu nie zależy od kształtu toru po którym poruszał się punkt
materialny, ale jedynie od różnicy potencjałów.
H = H (r , t) , H = H (x , y , z , t) pole nieustalone , H = H (x , y ,
z) pole ustalone
Powierzchnia ekwipotencjalna – powierzchnia będąca zbiorem miejsc
geometrycznych w których potencjał ma wartość jednakową. V(x, y,
z) = constans .
Praca siły wzdłuż dowolnej linii leżącej na powierzchni
ekwipotencjalnej równa się zero.
Pęd – iloczyn masy i prędkości.
Popęd (impuls) siły – nazywamy wyrażenie S = całka od t1 do t2 z
Pdt . Przyrost pędu w skończonym przedziale czasu równy jest
impulsowi sił działających w tym czasie na punkt materialny.
Zasada zachowania krętu (momentu pędu) - Krętem (momentem pędu)
punktu materialnego względem dowolnego nieruchomego bieguna 0 nazywamy
iloczyn wektorowy promienia wektora r poprowadzonego z bieguna 0 do
rozpatrywanego punktu i wektora pędu mV.
KOX = m(VZ y – VY z) , KOY = m(VX y – VZ z) , KOZ = m(VY y – VX z)
Kręt względem osi równy jest rzutowi na tą oś krętu obliczonego
względem dowolnego punktu leżącego na tej osi.
D*KO(wektor) / dt = sigma duża MiO (wektor) Zasadę krętu
Jeżeli duża sigma MiO (wektor) = 0 to KO = constans
Jeżeli duża sigma MZ = 0 to KZ = constans
Zasada zachowania energii kinetycznej (zasada zachowania energii
mechanicznej) - EK= 1/2mV2
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy – Przyrost energii
kinetycznej w skończonym przedziale czasu , równy jest sumie prac
wykonanych w tym czasie przez wszystkie siły działające na punkt
materialny.
W przypadku gdy punkt materialny porusza się w potencjalnym
(zachowawczym) polu sił wówczas możemy zapisać:
Duża sigma L1-2 = V1 – V2
T2 – T1 = V1 – V2
T1 + V1 = T2 - V2 = constans (beta)
Energia mechaniczna - suma energii potencjalnej i kinetycznej. W
potencjalnym polu sil energia mechaniczna jest zachowana. W przypadku
gdy na poruszający się punkt materialny oprócz sił o potencjale V(x,
y , z) działają inne siły (np. siły tarcia, oporu powietrza) to
należy we wzorze B (beta) uwzględnić pracę tych sił.
Lstr – praca stracona , T1 + V1 + Lstr = T2 + V2 Lstr < 0 , T1
+ V1 > T2 + V2
Dysypacja – strata energii (rozproszenie)
Moment bezwładności – punktu materialnego względem punktu prostej
lub płaszczyzny nazywamy iloczynem masy punktu materialnego przez
kwadrat odległości odpowiednio do punktu prostej lub płaszczyzny.
Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momentów
bezwładności względem dwóch płaszczyzn prostopadłych wzajemnie i
przechodzących przez tą oś.
IO = ½ (IX + IY + IZ) oraz IO = IPIXY + IPIYZ + IPIZX)
Twierdzenie Steinera – Moment bezwładności ciała materialnego
względem dowolnej osi Z równy jest sumie momentu bezwładności
względem osi ZC równoległej do osi Z i przechodzącej przez środek
masy i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami.
Każda oś przechodzące przez środek masy ciała nazywana będziemy
osią centralną. Można powiedzieć że ze wszystkich osi
równoległych do siebie oś centralna jest tą osią względem której
moment bezwładności ciała jest najmniejszy .
Układ punktów materialnych - zbiór punktów mat. W którym
położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych
punktów.
Twierdzenie o ruchu środka masy – Środek masy układu punktów
materialnych porusza się tak, jakby w tym punkcie skupiona była cała
masa tego układu, i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie
siły zewnętrzne.
Wnioski :
siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na ruch jego środka masy
gdy na układ nie działają siły zewnętrzne to środek masy porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub pozostaje w spoczynku.
Kręt układu punktów materialnych – względem środka masy, dla
ruchu bezwzględnego tj. dla ruchu względem układu nieruchomego x,y,z)
jest równy krętowi wyznaczonemu względem układu odniesienia
poruszającego się ruchem postępowym i związanego ze środkiem masy.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych – jest równa sumie
energii kin. Jaką miał by punkt materialny o masie całego układu
poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej
tegoż układu względem środka masy (Ti)
Wahadło fizyczne – ciało które może obracać się dookoła
poziomej osi.
Reakcje dynamiczne – reakcje dynamiczne wirującego ciała występują
gdy:
środek masy nie leży na osi obrotu
oś obrotu nie jest osią główną .
mechanika pojecia sciaga
POJECIA Z ZAKRESU MECHANIKI KLASYCZNEJ - Politechnika Szczecinska 2004
* Punkt materialny - punkt geometryczny, w ktorym skupiona jest cala
masa ciala rzeczywistego
(model ciala rezcywistego o malych wymiarach wobec otaczajacej go
przestrzeni).
* Bryla nieodksztalcalna - idealnie sztywna - jest to model ciala
rzeczywistego w ktorym wzajemne odleglosci
punktow nie ulegaja zmianie.
* Uklad mechaniczny - zbior punktow materialnych i bryl
nieodksztalcalnych w ktorym ruch jedenego elementu
zalezy scisle od ruchu pozostalych elementow zbioru.
* Zbior punktow materialnych - chodzi o to ze np. bryle mozna podzielic
na nieskonczenie wiele malych wartosci dv.
* Contiuum materialne - materia jest rozlozona w sposob ciagly.
* Czas absolutny - ustanawia kolejnosc zachodzenia zjawisk (od wstecz do
przodu , czas tylko naprzod)
* Mechanika dzieli sie na :
- statyka - zajmuje sie badaniem rownowagi cial
- kinematyka - zajmuje sie badaniem ruchu, bez przyczyn wywolujacych
ten ruch
- dynamika - zajmuje sie badaniem zwiazkow miedzy ruchem a przyczynami
wywolujacymi ten ruch
* Rownowaga cial - stan spoczynku, lub stan w ktorym cialo porusza sie
ruchem jednostajnym po lini
prostej (Ciala na siebie wzajemnie oddzialywuja, te oddzialywania
mogace doprowadzic do odksztalcen
nazywane sa silami)
* Rodzaje Sil:
- o rozkladzie liniowym
- objetosciowe
- skupione
- o rozkladzie powierzchniowym
- wewnetrzne - np. miedzyczzasteczkowe przyciaganie
- zewnetrzne - pochodzace od zewnatrz
- bierne
- czynne
* Zasady statyki:
- zasada rownolegloboku - siel wypadkowa wyznaczamy geometrycznie badz
ze wzoru
W = pierw (P1^2 + P2^2 + 2*P1*P2 * cos u)
dla kata 180 stopni pomiedzy silami wzor ma postac W = P1 - P2
* Zerowy uklad sil - Dwie sily przylozone do jedenj bryly
nieodksztalcalnej rownowaza sie jezeli
dzialaja wzdluz jednej prostej , zwroty beda mialy przeciwne, a
wartosc identyczna
* Dzialanie sil nie ulegnie zmianie jesli dodamy lub odejmiemy zerowy
uklad sil. Bryla moze byc
pod wplywem tych sil w:
- rownowadze
- spoczynku
- ruchu
Dzialanie sily nie ulega zmianie jesli sila zostanie przesunieta w
kierunku (wzdluz) lini dzialania sil.
* Zasada zesztywnienia - rownowaga ukladu sil dzialajacych na cialo nie
odksztalcalne ,jezeli cialo myslowo
zesztywnimy.
* Zasada akcji i reakcji - dwa dowolne ciala oddzialywuja na siebie
silami o tym samym kierunku, tej samej
wartosci, lecz przeciwnych zwrotach.
Fba = Fab
* Zasada uwalniania od wiezow - kazde nie swobodne cialo mozna myslowo
uwolnic od wiezow. Dzialania wiezow
mozna zastapic silami (reakcjami) i nastepnie rozpatrywac je jako
cialo swobodne na ktore dzialaja sily
czynne (zewnetrzne) , bierne (reakcje), np od innego ciala.
* Cialo swobodne - ma 6 stopni swobody.
* Wiezy - nazywamy nimi ograniczenia ruchu ciala.
* Wiezy idealne - wiezy w ktorych pominieto sily tarcia.
* Rodzaje wiezow :
- swobodne podparcie - przykladowo gdy bryla nieodksztalcalna leze na
podlozu, to aby pozbawic ja wiezow
prowadzimy prosta styczna do krawedzi tej bryly, natomiast sila
dzialania tej bryly , zarowno jak i sila
reakcji musi byc prostopadla do tej stycznej.
- wiotkie ciegno - nie moze przenosic sil sciskajacych, bocznych , moze
przenosic tylko sily rozciagajace.
uwalniajac od wiezow bryle zawieszona np. na takim ciegnie, przecinamy
wdluz tego ciegna dziala sila wiotkiego
ciegna S, bedaca reakcja ciala na dzialanie tego ciegna., oprocz tego
cialo posiada tez druga sile sile G grawitacji.
* Zasada superpozycji - sily dzialace w kirunku x nie maja wplywu na
sily dzialajace w kierunku y.
* Plaski zbiezny uklad sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
W = P1 + P2 + ... + Pn
W = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Pi
Wx + Wy = P1x + P1y + ... ... + Pnx + Pny (gdzie Wx to rzut wektora W
na os x)
(te zapisy sa juz algebraiczne)
Skrocona postac:
Wx = P1x + P2x + ... + Pnx = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n)
z Pix
Wy = P1y + P2y + ... + Pny = Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n)
z Piy
W = pierw (Wx^2 + Wy^2) = pierw [(Sigma Pix)^2 + (Sigma Piy)^2] -
modul wypadkowy
tg a = Wy / Wx
* Warunki rownowagi zbieznego plaskiego ukladu sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
Mowi o tym geometryczny warunek rownowagi W=0 (wektor zerowy
wartosc=0)
Jezli W=0 to modul wektora W musi byc rowny 0. Analityczne warunki
rownowagi
plaskiego zbieznego ukladu sil wygladaja nastepujaco:
Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Pix = 0
Sigma (przy i zmieniajacym sie od 1 do n) z Piy = 0
Czyli suma rzutow sil na os y=0 i suma rzutow na os x=0.
* Twierdzenie o 3 silach - Trzy sily lezace w jednej plaszczyznie
nierownolegle beda w rownowadze, jezeli
linie dzialania sil przecinaja sie w 1 punkcie a wielobok sil jest
zamkniety.
* Zbiezny przestrzenny uklad sil:
(wszystkie ponizsze zapisy sa geometryczne, czyli nad literkami sa
poziome kreski)
W = P1 + P2 + ... + Pn
Wx + Wy + Wz = P1x + P1y + P1z + ... ... + Pnx + Pny + Pnz (gdzie Wx
to rzut wektora W na os x)
(te zapisy sa juz algebraiczne)
Skrocona postac:
Wx = Sigma Pix
Wy = Sigma Piy
Wz = Sigma Piz
W = pierw (Wx^2 + Wy^2 + Wz^2) - modul wypadkowy
cos a = Wx / W
cos b = Wy / W
cos y = Wz / W
* Warunki rownowagi przestrzennego zbieznego ukladu sil:
W=0 (geometryczne)
Analityczne warunki rownowagi
Sigma Pix = 0
Sigma Piy = 0
Sigma Piz = 0 - suma rzutu sil na osie x,y,z musi byc rowna 0.
* Moment - sila * ramie
* Para sil - dwie sily rownolegle o tych samych wartosciach i
przeciwnych zwrotach.
* Wlasnosci pary sil:
- rzut pary sil na dowolna os jest rowny zeru,
- moment pary sil nie zalezy od punktu wzgledem ktorego go liczymy i
jest rowny iloczynowi modulu jednej
z sil razy odleglosc pomiedzy liniami dzialania sil (moment pary sil
jest wektorem swobodnym,
- kazda pare sil mozna zastapic inna para sil zachowujac moment
niezmieniony.
* Moment sily wzgledem punktu:
M = r * F , M = P * r * sin y = P * a - r to wektor od pkt. O
do miejsca przylozenia sily F.
* Moment sily wzgledem dowolnej osi - nazywamy moment rzutu P' sily P na
plaszczyzne prostopadla do osi l,
mierzony wzgledem punktu przebicia tej osi z plaszczyzna.
* Aby obliczyc moment pary sil , obieramy dowolny punkt a nastepnie od
niego prowadzimy ramiona do pary sil,
i w takim ukladzie momentem pary sil jest iloczyn pary sil i modulu
ramienia pary sil.
(ponizsze zapisy sa geometryczne)
M = r1 * P1 + r2 * P2
(algebraicznie)
M = (r1 - r2) * P1 * sin a
M = (r1 - r2) * P1 * sin (180-b) = (r1 - r2) * P1 * sin b
* Redukcja sily do wybranego punktu - jezeli np chcemy zredukowac sile P
dzialajaca z pkt A do pkt B, t w tym
celu od punktu B wprowadzamy zerowy uklad sil (dwojka zerowa) np
P'=P'' gdzie obie sa rownolegle do P, w ten
sposob tworzy sie nam Para Sil, nastepnie pare sil P i P' (obie maja
przeciwne zwroty) mozemy zastapic
momentami, kierunek momentu z pkt. B jest narzucony z gory i jest on
prostopadly do plaszczyzny na ktorej lezy
sila P''.
* Warunki geometryczne rownowagi plaskiego ukladu sil:
(ponizsze zapisy sa geometryczne)
W = P1 + P2 + ... + Pn
Ms = Ms1 + Ms2 + ... + Ms3
W =/ 0 , Ms =/ 0
W =/ 0 , Ms = 0
W = 0 , Ms =/ 0 - w tych 3 przypadkach nie ma rownowagi
W = 0 , Ms = 0 - w tym przypadku zachodzi rownowaga
Analityczne warunki rownowagi (algebraicznie)
Sigma Mia = 0 Sigma Piy = 0 Sigma Mia = 0
Sigma Pix = 0 Sigma Mia = 0 Sigma Mib = 0
Sigma Piy = 0 Sigma Mib = 0 Sigma Mic = 0
* Tarcie
- Tarcie posuwiste - mowa o tarci w momencie gdy sila tarcia Tmax
przekroczy sile nacisku N. Tmax = u * N
T <= u * N
- Tarcie slizgowe - przykladem takiego tarcia jest tarcie ciegna o
krazek.
- Tarcie potoczyste
jezeli Sigma Mia = 0 to F*r - N*f = 0 ,a F musi byc > od (N*f)/r
gdzie F to sila pchajaca np. toczaca sie kule, natomiast f- to
wspolczynnik tarcia bocznego, o to f jest
przesuwane N, czyli sila nacisku podloza na kule,(sila reakcji na
nacisk wywolany sila grawitacji G).
Z ostatniego wzoru wynika ze gdy promien jest wiekszy to latwiej
przemieszczac kule.
* Wspolczynnik tarcia jest zalezny od:
- stanu powierzchni (zalezy od sposobu obrobienia powierzchni,
chropowatosci , obrobka przez szlifowanie
i frezowanie) latwiej sie slizga po powierzchni szlifowanej, bo jest
ona pofalowana a po frezowaniu sa
mniejsze zalamania, ale znacznie ostzrejsze.
- rodzaju powierzchni tracych
- od smarowania
- od temperatury
Tarcie kinetyczne jest mniejsze od statycznego.
Drugie prawo dynamiki Newtona – m a = P , a = (sigma od 1 do n) z a
(z indeksem i ,wektorowe) , Przyśpieszenie punkt materialnego na które
działają siły P1 ... Pn równe jest sumie geometrycznej
przyśpieszeń które miałyby ten punkt gdyby każda z tych sił
działała osobno.
Bezwładnościowy (inercjalny układ odniesienia) – Taki w którym
słuszne są prawa Newtona . Jest to taki układ odniesienia mający
przyśpieszenie równe 0.tj będący w spoczynku, lub poruszający się
ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Zasada d’Alemberta – (równowagi dynamicznej) Siła skierowana
przeciwnie do przyśpieszenia. Siła rzeczywista działająca na punkt
materialny równoważy się w każdej chwili z siłą bezwładności
tego punktu. Zasada jest słuszna dla punktu nieswobodnego... P + R + A
= 0 (wektorowe)
Ruch względny punktu materialnego – Ruch punktu M względem układu
(h, eta, zeta) a tym samym względem ruchomej bryły nazywamy ruchem
względnym.
Ruch bezwzględny punktu materialnego – ruch punktu M względem
nieruchomego układu x,y,z nazywamy ruchem bezwzględnym.
Ruch unoszenia – ruch układu h, eta, zeta względem układu x,y,z (a
tym samym bryły) nazywamy ruchem unoszenia. Vm = U + W (wektorowe)
gdzie W – prędkość względna , U – prędkość unoszenia , V –
p. bezwzględna.
Przykład: rzeka , gdzie am = au + aw + ac , am – p. bezwzględne, ac
– p. coriolisa ,
Drgania punktu materialnego – drganiem lub ruchem drgającym nazywamy
ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenie równowagi stałej
punktu materialnego. Jeżeli ten ruch ma charakter okresowy tj. że po
pewnym okresie czasu T (zwanym okresem ruchu) punkt doznaje tego samego
wychylenia, to ruch drgający nazywamy. Ruchem okresowym. x * (t + T) =
x(T), t - dowolna chwila.
Podział drgań : a) podłużne , b) poprzeczne c) skrętne
Podział drgań ze względu na przyczyny wywołujące je :
swobodne (własne) – wywołane jednorazowym wytrąceniem punktu
materialnego z położenia równowagi
sprężystej, po czym punkt sam wykonuje drgania , bądź działają
siły sprężystości.
Dzielą się a drgania swobodne tłumione i nie tłumione. Przy
swobodnych tłumionych pojawia się wyróżnik równania
charakterystycznego, i w zależności od jego wartości mamy 3
przypadki:
sigma > w0 tłumienie nadkrytyczne
sigma = w0 tłumienie krytyczne
sigma < w0 tłumienie podkrytyczne
wymuszone - drgania wywołane siłami zewnętrznymi zmieniającymi się
w czasie.
parametryczne – drgania spowodowane okresową zmianą parametrów w
czasie (np. zmianą sztywności)
samo wzbudne – drgania wzbudzane przez siły spowodowane samym ruchem
(np. przez siły tarcia)
Drgania swobodne i wymuszone mogą być tłumione w skutek występowania
oporów ruchu)
Główne założenia dotyczące drgań są następujące:
pomijamy masę sprężyny
siły sprężystości są proporcjonalne do wychylenia (słuszne dla
małych wychyleń) F * s = k * x
siły oporu (tłumienia) są proporcjonalne do pierwszej pochodnej
prędkości
Moc – praca wykonana w jednostce czasu 1J = 1N * 1m = N * m , 1J = 1 W
/ 1 s , 1 KM =736 W
Potencjalne (zachowawcze) pole sił – Polem nazywamy obszar w którym
każdemu punktowi tego obszaru, przyporządkowana jest jednoznacznie
określona wartość liczbowa, pewnej wielkości fizykalnej. W tym polu
praca zależy od położenia początkowego i końcowego. Praca w takim
polu nie zależy od kształtu toru po którym poruszał się punkt
materialny, ale jedynie od różnicy potencjałów.
H = H (r , t) , H = H (x , y , z , t) pole nieustalone , H = H (x , y ,
z) pole ustalone
Powierzchnia ekwipotencjalna – powierzchnia będąca zbiorem miejsc
geometrycznych w których potencjał ma wartość jednakową. V(x, y,
z) = constans .
Praca siły wzdłuż dowolnej linii leżącej na powierzchni
ekwipotencjalnej równa się zero.
Pęd – iloczyn masy i prędkości.
Popęd (impuls) siły – nazywamy wyrażenie S = całka od t1 do t2 z
Pdt . Przyrost pędu w skończonym przedziale czasu równy jest
impulsowi sił działających w tym czasie na punkt materialny.
Zasada zachowania krętu (momentu pędu) - Krętem (momentem pędu)
punktu materialnego względem dowolnego nieruchomego bieguna 0 nazywamy
iloczyn wektorowy promienia wektora r poprowadzonego z bieguna 0 do
rozpatrywanego punktu i wektora pędu mV.
KOX = m(VZ y – VY z) , KOY = m(VX y – VZ z) , KOZ = m(VY y – VX z)
Kręt względem osi równy jest rzutowi na tą oś krętu obliczonego
względem dowolnego punktu leżącego na tej osi.
D*KO(wektor) / dt = sigma duża MiO (wektor) Zasadę krętu
Jeżeli duża sigma MiO (wektor) = 0 to KO = constans
Jeżeli duża sigma MZ = 0 to KZ = constans
Zasada zachowania energii kinetycznej (zasada zachowania energii
mechanicznej) - EK= 1/2mV2
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy – Przyrost energii
kinetycznej w skończonym przedziale czasu , równy jest sumie prac
wykonanych w tym czasie przez wszystkie siły działające na punkt
materialny.
W przypadku gdy punkt materialny porusza się w potencjalnym
(zachowawczym) polu sił wówczas możemy zapisać:
Duża sigma L1-2 = V1 – V2
T2 – T1 = V1 – V2
T1 + V1 = T2 - V2 = constans (beta)
Energia mechaniczna - suma energii potencjalnej i kinetycznej. W
potencjalnym polu sil energia mechaniczna jest zachowana. W przypadku
gdy na poruszający się punkt materialny oprócz sił o potencjale V(x,
y , z) działają inne siły (np. siły tarcia, oporu powietrza) to
należy we wzorze B (beta) uwzględnić pracę tych sił.
Lstr – praca stracona , T1 + V1 + Lstr = T2 + V2 Lstr < 0 , T1
+ V1 > T2 + V2
Dysypacja – strata energii (rozproszenie)
Moment bezwładności – punktu materialnego względem punktu prostej
lub płaszczyzny nazywamy iloczynem masy punktu materialnego przez
kwadrat odległości odpowiednio do punktu prostej lub płaszczyzny.
Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momentów
bezwładności względem dwóch płaszczyzn prostopadłych wzajemnie i
przechodzących przez tą oś.
IO = ½ (IX + IY + IZ) oraz IO = IPIXY + IPIYZ + IPIZX)
Twierdzenie Steinera – Moment bezwładności ciała materialnego
względem dowolnej osi Z równy jest sumie momentu bezwładności
względem osi ZC równoległej do osi Z i przechodzącej przez środek
masy i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami.
Każda oś przechodzące przez środek masy ciała nazywana będziemy
osią centralną. Można powiedzieć że ze wszystkich osi
równoległych do siebie oś centralna jest tą osią względem której
moment bezwładności ciała jest najmniejszy .
Układ punktów materialnych - zbiór punktów mat. W którym
położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych
punktów.
Twierdzenie o ruchu środka masy – Środek masy układu punktów
materialnych porusza się tak, jakby w tym punkcie skupiona była cała
masa tego układu, i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie
siły zewnętrzne.
Wnioski :
siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na ruch jego środka masy
gdy na układ nie działają siły zewnętrzne to środek masy porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub pozostaje w spoczynku.
Kręt układu punktów materialnych – względem środka masy, dla
ruchu bezwzględnego tj. dla ruchu względem układu nieruchomego x,y,z)
jest równy krętowi wyznaczonemu względem układu odniesienia
poruszającego się ruchem postępowym i związanego ze środkiem masy.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych – jest równa sumie
energii kin. Jaką miał by punkt materialny o masie całego układu
poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej
tegoż układu względem środka masy (Ti)
Wahadło fizyczne – ciało które może obracać się dookoła
poziomej osi.
Reakcje dynamiczne – reakcje dynamiczne wirującego ciała występują
gdy:
środek masy nie leży na osi obrotu
oś obrotu nie jest osią główną .
