pobieranie: Modelowanie ukladu napedowego2
Pobierz dokument pdfPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie układu napędowego w systemie MATLABSIMULINK
Opracował:
Mirosław Pajor Tomasz Okulik
5. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki układów napędowych maszyn
5.1 Budowa modelu fizycznego układu napędowego
Układy napędowe maszyn są zło onymi układami o ciągłym rozkładzie mas, sztywności i własności dyssypacyjnych. Poszczególne wałki układu napędowego połączone są ze sobą szeregowo za pomocą: kół zębatych, pasowych sprzęgieł itp. Uwzględnienie wszystkich czynników wpływających na własności dynamiczne układu napędowego prowadzi do bardzo zło onego modelu fizycznego i matematycznego (model drgań giętno-skrętnych napędu). Dlatego te , w zale ności od zakresu prowadzonych badań modelowych, przyjmuje się pewne zało enia upraszczające, które redukują stopień zło oności modelu i zwiększają efektywność prowadzonych analiz. W przypadku gdy zakres analiz ograniczony jest do wstępnych oszacowań dynamiki procesów rozruchowych, hamowań i procesów towarzyszących włączaniu sprzęgieł, model układu napędowego ogranicza się tylko do modelu drgań skrętnych napędu. Dokonuje się dyskretyzacji układu zgodnie z konwencją metody SES (sztywnych elementów skończonych). W metodzie tej SESy (sztywne elementy skończone) modelują własności bezwładnościowe elementów napędu, a łączące je ESTy (elementy sprę ysto-tłumiące) modelują własności sprę yste układu i zdolność rozpraszania energii. W modelu drgań skrętnych zakłada się, e ka dy z SESów ma jeden stopień swobody tj. obrót wokół osi wału. W pierwszym etapie dokonuje się podziałów pomyślanych elementów układu, przy czym podziały prowadzi się tak, aby wyodrębnić SESy modelujące koła zębate, pasowe i sprzęgła, których bezwładność jest zdecydowanie większa od bezwładności wałów na których są osadzone. Na rys.5.1 pokazano przykładowy, prosty fragment układu napędowego maszyny.
Rys.5.1 Fragment układu napędowego maszyny
Dokonano dyskretyzacji przedstawionego układu napędowego. Przyjęty sposób podziału pokazano na rys.5.2.
a)
b)
Rys.5.2. Dyskretyzacja modelu napędu maszyny: a) podziały na elementy dyskretne modelujące własności sprę ysto-tłumiące, b) model fizyczny napędu zgodny z konwencją metody SES. Jak widać z rys.5.2a podczas dyskretyzacji wykorzystano podziały pomyślane (podziały ciągłych elementów na mniejsze fragmenty – np. wałów) jak i podziały naturalne (podziały wzdłu naturalnych połączeń stykowych – np. połączeń wpustowych i pasowych). Przyjęty wariant dyskretyzacji decyduje o rozkładzie mas, czyli wymiarach poszczególnych SES-ów.
Na rys.5.2b pokazano model fizyczny napędu z podziałem na SESy wynikający z przyjętego wariantu dyskretyzacji (rys.5.2a). Poniewa analizowany jest tylko wariant drgań skrętnych napędu, zatem podpory wałów (ło yska) traktowane są jako sztywne. W prezentowanym przykładzie mamy dwie osie obrotu, zatem współrzędne uogólnione opisujące rotacje SESów o numerach od 1 do 5 są definiowane wokół osi nr 1 (rys.5.2b). Natomiast współrzędna uogólniona SESa o numerze 6 jest definiowana wokół osi nr 2. Model taki mo na rozpatrywać w lokalnych układach poszczególnych SESów lub w układzie globalnym związanym z wybranym wałem. Aby rozpatrywać drgania napędu w układzie globalnym związanym z wybranym wałem nale y dokonać redukcji parametrów opisujących SESy i ESTy z pozostałych osi na oś wybranego wału. Zakładając, e rozpatrywane będą drgania skrętne napędu w układzie globalnym związanym z wałem o numerze m, wzory redukcyjne będą miały postać: J k h Jn = Jnm = 2nj k n = k nm = 2nj hn = hnm = 2nj (5.1) i mj i mj i mj przy czym Ω d z (5.2) i mj = m = m = m Ωj dj zj gdzie: n – numer ESTa bądź SESa którego parametr redukujemy, m – numer osi na którą redukujemy, j – numer osi z której redukujemy, J – masowy moment bezwładności [kg*m2], k – współczynnik sztywności [N/m], h – współczynnik tłumienia [N*s/m], imj – przeło enie pomiędzy wałami m i j, Ω – prędkość kątowa wału, d – średnica podziałowa, z – liczba zębów. Współrzędne uogólnione i siły uogólnione będą transformowane według następujących zale ności: Q φn = φnm = φnj i mj Qn = Qnm = nj (5.3) i mj gdzie: φ – współrzędna uogólniona, Q – siła uogólniona. Na rys 5.3 pokazano model napędu maszyny w postaci zredukowanej do osi nr 1.
Rys. 5.3. Zredukowany model napędu maszyny do osi nr 1 Następnym krokiem algorytmu budowy modelu napędu maszyny jest wyznaczenie parametrów modelu fizycznego, tj. wartości współczynników opisujących bezwładność, sztywność i tłumienie układu.
5.2 Wyznaczanie parametrów opisujących model fizyczny napędu
Masy i momenty bezwładności SESów w modelu fizycznym napędu mo na z dostateczną dokładnością wyznaczyć traktując je jako elementy walcowe lub tuleje. Wykorzystywane są następujące zale ności s s mr2 m = π ρ ∑ ri 2 Li J=∑ i i (5.4) 2 i =1 i =1 gdzie: m – masa SESa, ρ – gęstość materiału (dla stali 7.86*103 kg/m3), ri – promień i-tego fragmentu walcowego, Li – długość i-tego fragmentu walcowego, J – moment bezwładności wokół osi wału, mi – masa i-tego fragmentu walcowego, s – liczba stopni na wale. Na rys.5.4 Przykładowo pokazano wymiary geometryczne SESa nr 4 oraz wyznaczono jego parametry bezwładnościowe.
m1 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.01)2 ⋅ 0.03 = 0.074 kg m2 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.014 )2 ⋅ 0.04 = 0.194 kg
m3 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.02 )2 ⋅ 0.01 = 0.099 kg
J = 0.5 ⋅ 0.074 ⋅ (0.01) + 0.194 ⋅ (0.014 ) + 0.099 ⋅ (0.02 ) = 6.2185 ⋅ 10 − 5 kg ⋅ m 2
2 2 2
[
m = 0.074 + 0.194 + 0.099 = 0.367 kg
]
Rys. 5.4. Parametry bezwładnościowe SESa nr 4 W tabeli 5.1 zestawiono parametry bezwładnościowe wszystkich SESów modelujących napęd maszyny pokazany na rys.5.2. Tabela 5.1 Parametry bezwładnościowe modelu Element Masa [kg] SES 1 0.2420 SES 2 1.2219 SES 3 2.0545 SES 4 0.3664 SES 5 1.4223 SES 6* 0.6667 * wartości parametrów przed redukcją do osi nr 1 Moment bezwładności [kg*m2] 2.0452*1e-5 2.3045*1e-4 0.0041 4.2430*1e-5 0.0018 4.4169*1e-4
Parametry sztywnościowe ESTów modelujących sztywność poszczególnych odcinków wałów (rys.5.2a) oraz połączeń wpustowych, pasowych itp. wyznacza się wykorzystując zale ności pokazane w tabeli 5.2. W tablicy tej przedstawiono tylko wybrane wzory na sztywność skrętną elementów napędu maszy. Kompletny wykaz wzorów mo na znaleźć w pracy [K.Marchelek: Dynamika obrabiarek]. W przypadku wałów stopniowych (rys.5.5) ich sztywność wyznacza się dzieląc wał na odcinki o stałych średnicach. Następnie wyznacza się sztywność ka dego z odcinków zgodnie ze wzorem z tabeli 5.2. Traktując połączenia poszczególnych fragmentów jako szeregowe wyznacza się następnie sztywność całego wału zgodnie z zale nością s 1 1 (5.5) =∑ k i =1 k i
Tabela 5.2 Wzory do obliczania sztywności skrętnej k [N*m/rad] wybranych elementów układu napędowego Schemat
1.Wałek o przekroju kołowym
Wzór πd 32
4
Objaśnienia
d – średnica wałka, L – długość wałka, G – moduł sprę ystości postaciowej, J0 – moment bezwładności przekroju wałka względem jego osi.
J0 =
d
L
GJ0 k= L
2. Połączenie wpustowe
h
d – średnica wałka, L – długość wpustu,
L
d 2 Lh k =K 16
h – wysokość wpustu, K – współczynnik =2.5*1012N/m3
3. Połączeni tarczowe
d
n – liczba śrub ds – średnica śruby
k=
GπD d n 384L
2 2 s
L – grubość tarczy D – średnica podziałowa
L
4. Sprzęgło kłowe
d
s
D
z – liczba zębów β – współczynnik 2.5*1e12 N/m3
h
D
k =K
D 2 βLhz 4
L
5. Przekładnia zębata b – szerokość wieńca r – promień koła wierzchołkowego
k=
b
r
br 2 cos 2 α o K
αo – kąt przyporu K=6*1e-11 m2/N współczynnik dla kół stalowych o zębach prostych
6. Przekładnia pasowa
R
1
Le – efektywna długość pasa R1 – promień koła do którego jest odnoszona sztywność przekładni
k=
L
azR12 FE Le
2
R2 – promień drugiego koła F – powierzchnia przekroju poprzecznego pasa z – liczba pasów E – moduł sprę ystości (4-6)*1e8 N/m2 v – prędkość obwodowa pasa
Le = L2 − (R1 − R 2 ) + 0.03v (R1 + R2 )
7. Przekładnia zębata
b
ks – współczynnik 4.5*1e-8 m2/N
R
1
k=
Le
abR EF ak s EF + bLe
2 1
E – moduł sprę ystości pasa (10-13)*1e9 N/m2
a – współczynnik przemieszczenia siły obwodowej a=2 dla P<2Po a=1 dla P>2Po Po – siła napięcia wstępnego pasa
Na rys. 5.5 Pokazano przykładowo wymiary odcinka wału modelowanego przez EST nr 4 oraz obliczenia jego parametrów sztywnościowych.
J01 = J02
π ⋅ ( 0.02 )4 = 1.57 ⋅ 10 − 8 m 4 32 π ⋅ ( 0.028 )4 = = 6.0344 ⋅ 10 − 8 m 4 32 π ⋅ ( 0.04 )4 = 2.5133 ⋅ 10 −7 m 4 32
J03 = 8.0769 ⋅ 1010 ⋅ 1.57 ⋅ 10 −8 N ⋅m = 4.2291 ⋅ 10 4 0.03 rad 10 −8 8.0769 ⋅ 10 ⋅ 6.0344 ⋅ 10 N ⋅m k2 = = 1.2185 ⋅ 10 5 0.04 rad k1 = k3 = k= 8.0769 ⋅ 1010 ⋅ 2.5133 ⋅ 10 −7 N ⋅m = 2.2555 ⋅ 10 5 0.09 rad
k1k 2 k 3 N ⋅m = 2.7559 ⋅ 10 4 k1k 2 + k1k 3 + k 2 k 3 rad
Rys. 5.4. Parametry sztywnościowe ESTa nr 2
Parametry dyssypacyjne poszczególnych ESTów mo na wyznaczyć na podstawie znajomości ich współczynników sztywności, zgodnie z zale nością
h = Tk
(5.6)
gdzie: h – współczynniki tłumienia wiskotycznego [N*s/m], T – stała czasowa tłumienia. W tabeli 5.2 podano stałe czasowe wybranych materiałów i elementów [Marchewek: Dynamika obrabiarek] Tabela 5.2 Stałe czasowe wybranych materiałów i elementów Materiał/Element Stal St3 Stal 50 Stal 37HN3A eliwo zwykłe Przekładnia pasowa Styk spoczynkowy T [s] 10·10-6 30.3·10-6 11.2·10-6 324·10-6 (1100÷2300)·10-6 (200÷500)·10-6
Dla ESTa, którego współczynnik sztywności wyznaczano na rys. 5.4, współczynnik tłumienia (zakładając, e wał wykonany jest ze stali St3) mo na wyznaczyć w następujący sposób N ⋅m⋅s h = 30.3 ⋅ 10 −6 ⋅ 2.7559 = 0.8350 rad W tabeli 5.3 zestawiono parametry sztywnościowo-dyssypacyjne wszystkich ESTów modelujących napęd maszyny pokazany na rys.5.2. Tabela 5.3 Parametry sztywnościowo-dyssypacyjne modelu Element Sztywność [N*m/rad] EST 1 4.3925*1e4 EST 2 2.7559*1e4 EST 3 4*1e4 EST 4 6.25*1e3 EST 5 1.2617*1e3 EST 6* 6.25*1e3 * wartości parametrów przed redukcją do osi nr 1 Tłumienie [N*m*s/rad] 1.3309 0.8350 16 2.5 2.5235 2.5
Poniewa współrzędna uogólniona SESa o numerze 6 jest definiowana wokół osi nr 2, zatem jego parametry bezwładnościowe oraz parametry sztywnościowo-tłumieniowe ESTa nr 6 nale y zredukować do osi nr 1 zgodnie z zale nościami (5.1) i (5.2). Poni ej przedstawiono tok obliczeń przeprowadzonych podczas redukcji:
i12 = k6 = k61 =
d1 100 = = 1.4286 d2 70
J6 = J61 =
J62 4.4169 ⋅ 10 −4 = = 2.1642 ⋅ 10 − 4 2 i12 (1.4286 )2 h6 = h61 = h62 2.5 = = 1.2250 2 i12 (1.4286 )2
k62 6.25 ⋅ 10 3 = = 3.0625 ⋅ 10 3 2 2 i12 (1.4286 )
gdzie: d1, d2 – odpowiednie średnice kół pasowych. Wyznaczone parametry modelu fizycznego zostaną wykorzystane do budowy modelu matematycznego napędu.
5.3 Budowa modelu matematycznego
Model matematyczny stanowią równania ruchu opisujące dynamikę napędu maszyny. Są to równania ró niczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Równania te pisane są w oparciu o uproszczony model fizyczny Współczynnikami równań ruchu będą parametry bezwładnościowe i sztywnościowo-tłumieniowe modelu fizycznego. Dla zredukowanego modelu fizycznego napędu maszyny pokazanego na rys.5.3 równania ruchu przyjmą następującą postać
J1 φ 1 ( t ) + h1 φ 1 ( t ) − h1 φ 2 ( t ) + k1 φ 1 ( t ) − k1 φ 2 ( t ) = 0
J2 φ 2 ( t ) − h1 φ 1 ( t ) + ( h1 + h2 + h3 )φ 2 ( t ) − h3 φ3 ( t ) − h2 φ4 ( t ) − k1 φ 1 ( t ) + ( k1 + k2 + k3 )φ 2 ( t ) − k3 φ3 ( t ) − k2 φ4 ( t ) = 0
•• • • • •
••
•
•
J3 φ 3 ( t ) − h3 φ 2 ( t ) + h3 φ 3 ( t ) − k 3 φ 2 ( t ) + k 3 φ 3 ( t ) = 0
•• • • • •• • • •
••
•
•
(5.7)
J4 φ 4 ( t ) − h2 φ 2 ( t ) + ( h2 + h4 ) φ 4 ( t ) − h4 φ 5 ( t ) − k 2 φ 2 ( t ) + ( k 2 + k 4 ) φ 4 ( t ) − k 4 φ 5 ( t ) = 0 J5 φ 5 ( t ) − h4 φ 4 ( t ) + ( h4 + h5 ) φ 5 ( t ) − h5 φ 6 ( t ) − k 4 φ 4 ( t ) + ( k 4 + k 5 ) φ 5 ( t ) − k 5 φ 6 ( t ) = 0 J6 φ 6 ( t ) − h5 φ 5 ( t ) + ( h5 + h6 ) φ 6 ( t ) − k 5 φ 5 ( t ) + ( k 5 + k6 ) φ 6 ( t ) = 0
•• • •
Układ równań (5.7) mo na zapisać w postaci macierzowo wektorowej
M φ( t ) + H φ( t ) + K φ( t ) = Q
•• •
(5.8)
Q = col {0 0 0 0 0 0}
przy czym
M = diag{J i }
φ( t ) = col { i ( t )} φ
h1 − h 1 0 H= 0 0 0
h1 + h2 + h3 − h3 − h2 0 0 − k1
− h1
− h3 h3 0 0 0
0
− h2 h2 + h4 − h4 0 0
0
0 0 h4 + h5 − h5 − h4 0
0 0 0 − h5 h5 + h6 0 0 0 0 − k5 k 5 + k6 0
(5.9)
k1 − k 1 0 K= 0 0 0
k1 + k 2 + k 3 − k3 − k2 0 0
− k3 k3 0 0 0
••
0
− k2 k2 + k4 − k4 0 0
0
0 0 k 4 + k5 − k5 − k4 0
φ( t ) ≡ φ( t ) mo na utworzyć układ równań macierzowo wektorowych w postaci
• •
Rozwiązując równanie (5.8) ze względu na φ( t ) i uzupełniając o to samością
φ( t ) = −M −1 H φ( t ) − M −1K φ( t ) + M −1Q( t )
Układ równań (5.10) mo na zapisać w postaci równania stanu
••
•
φ( t ) = φ( t )
•
•
(5.10)
y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) φ( t ) = Cy ( t ) + Du( t )
przy czym
(5.11)
φ( t ) O y ( t ) = • u( t ) = Q( t ) φ( t )
O A= −1 − M K
(5.12)
D = [O O ]
I O O B= C = [I O ] −1 −1 − M H O M
(5.13)
Macierze O i I (zerowa i jednostkowa) mają wymiar 6x6, natomiast macierz stanu A i macierz B mają wymiar 12x12. Zapisując model matematyczny napędu maszyny w środowisku MATLABSIMULINK mo na wykorzystać bezpośrednio równania ruchu (5.7) i przedstawić je w postaci schematu blokowego. Schemat taki pokazano na rys.5.5. Mimo, i model nie jest zbyt rozbudowany to jego schemat blokowy jest stosunkowo zło ony i posiada wiele wzajemnych sprzę eń, co mo e być powodem błędów przy budowie schematu w systemie MATLABSIMULINK. W schemacie wyraźnie widać powtarzające się sekwencje bloków, które odpowiadają poszczególnym równaniom ruchu. W celu uniknięcia błędów mo na poszczególne sekwencje bloków zdefiniować jako podsystem (Subsystem) i powielać je w zale ności od liczby równań (stopni swobody) modelu napędu maszyny. Takie podejście zdecydowanie zwiększy przejrzystość schematu i zmniejszy mo liwość popełnienia błędu. Wadą zapisu modelu matematycznego w postaci schematu blokowego na podstawie równań ruchu jest jego zło oność, jednak e zapis taki ma pewne zalety. Umo liwia on w prosty sposób, wprowadzenie do układu ró nego rodzaju nieliniowości w poszczególnych elementach modelowanego napędu. Innym sposobem zapisania modelu napędu w systemie MATLAB-SIMULINK jest przedstawienie równań ruchu w postaci równania stanu (5.11) i wykorzystanie bloku StateSpace. Model omawianego napędu zapisany w taki sposób przedstawiono na rys.5.6. U ycie takiej metody zapisu jest zdecydowanie prostsze i wymaga tylko zdefiniowania macierzy (5.13). Jednak e model taki jest liniowy i uniemo liwia wprowadzanie modyfikacji jak w przypadku schematu blokowego równań ruchu.
Rys. 5.5. Schemat blokowy modelu napędu zbudowany na podstawie równań ruchu
0 Constant x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space
f i1 f i2
Demux f i3
f i4 f i5 f i6
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
Rys. 5.6. Schemat blokowy modelu napędu zbudowany z wykorzystaniem bloku State-Space Wartosci wlasne dla macierzy sztywności omawianego modelu napędu wynoszą: [rad/s] [Hz] 1.0e+005 * 0.0016 2.0073 0.0402 10.0928 0.0795 14.1905 0.3638 30.3578 0.4197 32.6066 1.5057 61.7569 Wektory własne otrzymane dla macierzy sztywności omawianego modelu napędu przyjmują postać: -0.4567 -0.4551 -0.4569 -0.4472 -0.4010 -0.1215 -0.1330 0.2400 -0.2213 0.7362 -0.1208 0.1966 -0.0380 0.0327 -0.1343 0.2454 -0.4203 -0.6632 -0.0642 -0.0001 0.8592 -0.1283 0.2269 -0.8674 -0.1863 0.0233 0.9456 0.3019 0.0073 -0.0008 -0.3536 0.8586 -0.3106 -0.2031 0.0089 -0.0001
Przebieg ćwiczenia Na podstawie rysunków konstrukcyjnych przekazanych przez prowadzącego, zbudować model napędu wykorzystując omawiane techniki modelowania. Wyznaczyć częstości własne napędu i przeanalizować postacie drgań. Wyznaczyć charakterystyki A-F-C wybranych elementów napędu. Zbadać symulacyjnie odpowiedź skokową napędu.
Modelowanie ukladu napedowego2
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie układu napędowego w systemie MATLABSIMULINK
Opracował:
Mirosław Pajor Tomasz Okulik
5. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki układów napędowych maszyn
5.1 Budowa modelu fizycznego układu napędowego
Układy napędowe maszyn są zło onymi układami o ciągłym rozkładzie mas, sztywności i własności dyssypacyjnych. Poszczególne wałki układu napędowego połączone są ze sobą szeregowo za pomocą: kół zębatych, pasowych sprzęgieł itp. Uwzględnienie wszystkich czynników wpływających na własności dynamiczne układu napędowego prowadzi do bardzo zło onego modelu fizycznego i matematycznego (model drgań giętno-skrętnych napędu). Dlatego te , w zale ności od zakresu prowadzonych badań modelowych, przyjmuje się pewne zało enia upraszczające, które redukują stopień zło oności modelu i zwiększają efektywność prowadzonych analiz. W przypadku gdy zakres analiz ograniczony jest do wstępnych oszacowań dynamiki procesów rozruchowych, hamowań i procesów towarzyszących włączaniu sprzęgieł, model układu napędowego ogranicza się tylko do modelu drgań skrętnych napędu. Dokonuje się dyskretyzacji układu zgodnie z konwencją metody SES (sztywnych elementów skończonych). W metodzie tej SESy (sztywne elementy skończone) modelują własności bezwładnościowe elementów napędu, a łączące je ESTy (elementy sprę ysto-tłumiące) modelują własności sprę yste układu i zdolność rozpraszania energii. W modelu drgań skrętnych zakłada się, e ka dy z SESów ma jeden stopień swobody tj. obrót wokół osi wału. W pierwszym etapie dokonuje się podziałów pomyślanych elementów układu, przy czym podziały prowadzi się tak, aby wyodrębnić SESy modelujące koła zębate, pasowe i sprzęgła, których bezwładność jest zdecydowanie większa od bezwładności wałów na których są osadzone. Na rys.5.1 pokazano przykładowy, prosty fragment układu napędowego maszyny.
Rys.5.1 Fragment układu napędowego maszyny
Dokonano dyskretyzacji przedstawionego układu napędowego. Przyjęty sposób podziału pokazano na rys.5.2.
a)
b)
Rys.5.2. Dyskretyzacja modelu napędu maszyny: a) podziały na elementy dyskretne modelujące własności sprę ysto-tłumiące, b) model fizyczny napędu zgodny z konwencją metody SES. Jak widać z rys.5.2a podczas dyskretyzacji wykorzystano podziały pomyślane (podziały ciągłych elementów na mniejsze fragmenty – np. wałów) jak i podziały naturalne (podziały wzdłu naturalnych połączeń stykowych – np. połączeń wpustowych i pasowych). Przyjęty wariant dyskretyzacji decyduje o rozkładzie mas, czyli wymiarach poszczególnych SES-ów.
Na rys.5.2b pokazano model fizyczny napędu z podziałem na SESy wynikający z przyjętego wariantu dyskretyzacji (rys.5.2a). Poniewa analizowany jest tylko wariant drgań skrętnych napędu, zatem podpory wałów (ło yska) traktowane są jako sztywne. W prezentowanym przykładzie mamy dwie osie obrotu, zatem współrzędne uogólnione opisujące rotacje SESów o numerach od 1 do 5 są definiowane wokół osi nr 1 (rys.5.2b). Natomiast współrzędna uogólniona SESa o numerze 6 jest definiowana wokół osi nr 2. Model taki mo na rozpatrywać w lokalnych układach poszczególnych SESów lub w układzie globalnym związanym z wybranym wałem. Aby rozpatrywać drgania napędu w układzie globalnym związanym z wybranym wałem nale y dokonać redukcji parametrów opisujących SESy i ESTy z pozostałych osi na oś wybranego wału. Zakładając, e rozpatrywane będą drgania skrętne napędu w układzie globalnym związanym z wałem o numerze m, wzory redukcyjne będą miały postać: J k h Jn = Jnm = 2nj k n = k nm = 2nj hn = hnm = 2nj (5.1) i mj i mj i mj przy czym Ω d z (5.2) i mj = m = m = m Ωj dj zj gdzie: n – numer ESTa bądź SESa którego parametr redukujemy, m – numer osi na którą redukujemy, j – numer osi z której redukujemy, J – masowy moment bezwładności [kg*m2], k – współczynnik sztywności [N/m], h – współczynnik tłumienia [N*s/m], imj – przeło enie pomiędzy wałami m i j, Ω – prędkość kątowa wału, d – średnica podziałowa, z – liczba zębów. Współrzędne uogólnione i siły uogólnione będą transformowane według następujących zale ności: Q φn = φnm = φnj i mj Qn = Qnm = nj (5.3) i mj gdzie: φ – współrzędna uogólniona, Q – siła uogólniona. Na rys 5.3 pokazano model napędu maszyny w postaci zredukowanej do osi nr 1.
Rys. 5.3. Zredukowany model napędu maszyny do osi nr 1 Następnym krokiem algorytmu budowy modelu napędu maszyny jest wyznaczenie parametrów modelu fizycznego, tj. wartości współczynników opisujących bezwładność, sztywność i tłumienie układu.
5.2 Wyznaczanie parametrów opisujących model fizyczny napędu
Masy i momenty bezwładności SESów w modelu fizycznym napędu mo na z dostateczną dokładnością wyznaczyć traktując je jako elementy walcowe lub tuleje. Wykorzystywane są następujące zale ności s s mr2 m = π ρ ∑ ri 2 Li J=∑ i i (5.4) 2 i =1 i =1 gdzie: m – masa SESa, ρ – gęstość materiału (dla stali 7.86*103 kg/m3), ri – promień i-tego fragmentu walcowego, Li – długość i-tego fragmentu walcowego, J – moment bezwładności wokół osi wału, mi – masa i-tego fragmentu walcowego, s – liczba stopni na wale. Na rys.5.4 Przykładowo pokazano wymiary geometryczne SESa nr 4 oraz wyznaczono jego parametry bezwładnościowe.
m1 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.01)2 ⋅ 0.03 = 0.074 kg m2 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.014 )2 ⋅ 0.04 = 0.194 kg
m3 = π ⋅ 7.86 ⋅ 10 3 ⋅ ( 0.02 )2 ⋅ 0.01 = 0.099 kg
J = 0.5 ⋅ 0.074 ⋅ (0.01) + 0.194 ⋅ (0.014 ) + 0.099 ⋅ (0.02 ) = 6.2185 ⋅ 10 − 5 kg ⋅ m 2
2 2 2
[
m = 0.074 + 0.194 + 0.099 = 0.367 kg
]
Rys. 5.4. Parametry bezwładnościowe SESa nr 4 W tabeli 5.1 zestawiono parametry bezwładnościowe wszystkich SESów modelujących napęd maszyny pokazany na rys.5.2. Tabela 5.1 Parametry bezwładnościowe modelu Element Masa [kg] SES 1 0.2420 SES 2 1.2219 SES 3 2.0545 SES 4 0.3664 SES 5 1.4223 SES 6* 0.6667 * wartości parametrów przed redukcją do osi nr 1 Moment bezwładności [kg*m2] 2.0452*1e-5 2.3045*1e-4 0.0041 4.2430*1e-5 0.0018 4.4169*1e-4
Parametry sztywnościowe ESTów modelujących sztywność poszczególnych odcinków wałów (rys.5.2a) oraz połączeń wpustowych, pasowych itp. wyznacza się wykorzystując zale ności pokazane w tabeli 5.2. W tablicy tej przedstawiono tylko wybrane wzory na sztywność skrętną elementów napędu maszy. Kompletny wykaz wzorów mo na znaleźć w pracy [K.Marchelek: Dynamika obrabiarek]. W przypadku wałów stopniowych (rys.5.5) ich sztywność wyznacza się dzieląc wał na odcinki o stałych średnicach. Następnie wyznacza się sztywność ka dego z odcinków zgodnie ze wzorem z tabeli 5.2. Traktując połączenia poszczególnych fragmentów jako szeregowe wyznacza się następnie sztywność całego wału zgodnie z zale nością s 1 1 (5.5) =∑ k i =1 k i
Tabela 5.2 Wzory do obliczania sztywności skrętnej k [N*m/rad] wybranych elementów układu napędowego Schemat
1.Wałek o przekroju kołowym
Wzór πd 32
4
Objaśnienia
d – średnica wałka, L – długość wałka, G – moduł sprę ystości postaciowej, J0 – moment bezwładności przekroju wałka względem jego osi.
J0 =
d
L
GJ0 k= L
2. Połączenie wpustowe
h
d – średnica wałka, L – długość wpustu,
L
d 2 Lh k =K 16
h – wysokość wpustu, K – współczynnik =2.5*1012N/m3
3. Połączeni tarczowe
d
n – liczba śrub ds – średnica śruby
k=
GπD d n 384L
2 2 s
L – grubość tarczy D – średnica podziałowa
L
4. Sprzęgło kłowe
d
s
D
z – liczba zębów β – współczynnik 2.5*1e12 N/m3
h
D
k =K
D 2 βLhz 4
L
5. Przekładnia zębata b – szerokość wieńca r – promień koła wierzchołkowego
k=
b
r
br 2 cos 2 α o K
αo – kąt przyporu K=6*1e-11 m2/N współczynnik dla kół stalowych o zębach prostych
6. Przekładnia pasowa
R
1
Le – efektywna długość pasa R1 – promień koła do którego jest odnoszona sztywność przekładni
k=
L
azR12 FE Le
2
R2 – promień drugiego koła F – powierzchnia przekroju poprzecznego pasa z – liczba pasów E – moduł sprę ystości (4-6)*1e8 N/m2 v – prędkość obwodowa pasa
Le = L2 − (R1 − R 2 ) + 0.03v (R1 + R2 )
7. Przekładnia zębata
b
ks – współczynnik 4.5*1e-8 m2/N
R
1
k=
Le
abR EF ak s EF + bLe
2 1
E – moduł sprę ystości pasa (10-13)*1e9 N/m2
a – współczynnik przemieszczenia siły obwodowej a=2 dla P<2Po a=1 dla P>2Po Po – siła napięcia wstępnego pasa
Na rys. 5.5 Pokazano przykładowo wymiary odcinka wału modelowanego przez EST nr 4 oraz obliczenia jego parametrów sztywnościowych.
J01 = J02
π ⋅ ( 0.02 )4 = 1.57 ⋅ 10 − 8 m 4 32 π ⋅ ( 0.028 )4 = = 6.0344 ⋅ 10 − 8 m 4 32 π ⋅ ( 0.04 )4 = 2.5133 ⋅ 10 −7 m 4 32
J03 = 8.0769 ⋅ 1010 ⋅ 1.57 ⋅ 10 −8 N ⋅m = 4.2291 ⋅ 10 4 0.03 rad 10 −8 8.0769 ⋅ 10 ⋅ 6.0344 ⋅ 10 N ⋅m k2 = = 1.2185 ⋅ 10 5 0.04 rad k1 = k3 = k= 8.0769 ⋅ 1010 ⋅ 2.5133 ⋅ 10 −7 N ⋅m = 2.2555 ⋅ 10 5 0.09 rad
k1k 2 k 3 N ⋅m = 2.7559 ⋅ 10 4 k1k 2 + k1k 3 + k 2 k 3 rad
Rys. 5.4. Parametry sztywnościowe ESTa nr 2
Parametry dyssypacyjne poszczególnych ESTów mo na wyznaczyć na podstawie znajomości ich współczynników sztywności, zgodnie z zale nością
h = Tk
(5.6)
gdzie: h – współczynniki tłumienia wiskotycznego [N*s/m], T – stała czasowa tłumienia. W tabeli 5.2 podano stałe czasowe wybranych materiałów i elementów [Marchewek: Dynamika obrabiarek] Tabela 5.2 Stałe czasowe wybranych materiałów i elementów Materiał/Element Stal St3 Stal 50 Stal 37HN3A eliwo zwykłe Przekładnia pasowa Styk spoczynkowy T [s] 10·10-6 30.3·10-6 11.2·10-6 324·10-6 (1100÷2300)·10-6 (200÷500)·10-6
Dla ESTa, którego współczynnik sztywności wyznaczano na rys. 5.4, współczynnik tłumienia (zakładając, e wał wykonany jest ze stali St3) mo na wyznaczyć w następujący sposób N ⋅m⋅s h = 30.3 ⋅ 10 −6 ⋅ 2.7559 = 0.8350 rad W tabeli 5.3 zestawiono parametry sztywnościowo-dyssypacyjne wszystkich ESTów modelujących napęd maszyny pokazany na rys.5.2. Tabela 5.3 Parametry sztywnościowo-dyssypacyjne modelu Element Sztywność [N*m/rad] EST 1 4.3925*1e4 EST 2 2.7559*1e4 EST 3 4*1e4 EST 4 6.25*1e3 EST 5 1.2617*1e3 EST 6* 6.25*1e3 * wartości parametrów przed redukcją do osi nr 1 Tłumienie [N*m*s/rad] 1.3309 0.8350 16 2.5 2.5235 2.5
Poniewa współrzędna uogólniona SESa o numerze 6 jest definiowana wokół osi nr 2, zatem jego parametry bezwładnościowe oraz parametry sztywnościowo-tłumieniowe ESTa nr 6 nale y zredukować do osi nr 1 zgodnie z zale nościami (5.1) i (5.2). Poni ej przedstawiono tok obliczeń przeprowadzonych podczas redukcji:
i12 = k6 = k61 =
d1 100 = = 1.4286 d2 70
J6 = J61 =
J62 4.4169 ⋅ 10 −4 = = 2.1642 ⋅ 10 − 4 2 i12 (1.4286 )2 h6 = h61 = h62 2.5 = = 1.2250 2 i12 (1.4286 )2
k62 6.25 ⋅ 10 3 = = 3.0625 ⋅ 10 3 2 2 i12 (1.4286 )
gdzie: d1, d2 – odpowiednie średnice kół pasowych. Wyznaczone parametry modelu fizycznego zostaną wykorzystane do budowy modelu matematycznego napędu.
5.3 Budowa modelu matematycznego
Model matematyczny stanowią równania ruchu opisujące dynamikę napędu maszyny. Są to równania ró niczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Równania te pisane są w oparciu o uproszczony model fizyczny Współczynnikami równań ruchu będą parametry bezwładnościowe i sztywnościowo-tłumieniowe modelu fizycznego. Dla zredukowanego modelu fizycznego napędu maszyny pokazanego na rys.5.3 równania ruchu przyjmą następującą postać
J1 φ 1 ( t ) + h1 φ 1 ( t ) − h1 φ 2 ( t ) + k1 φ 1 ( t ) − k1 φ 2 ( t ) = 0
J2 φ 2 ( t ) − h1 φ 1 ( t ) + ( h1 + h2 + h3 )φ 2 ( t ) − h3 φ3 ( t ) − h2 φ4 ( t ) − k1 φ 1 ( t ) + ( k1 + k2 + k3 )φ 2 ( t ) − k3 φ3 ( t ) − k2 φ4 ( t ) = 0
•• • • • •
••
•
•
J3 φ 3 ( t ) − h3 φ 2 ( t ) + h3 φ 3 ( t ) − k 3 φ 2 ( t ) + k 3 φ 3 ( t ) = 0
•• • • • •• • • •
••
•
•
(5.7)
J4 φ 4 ( t ) − h2 φ 2 ( t ) + ( h2 + h4 ) φ 4 ( t ) − h4 φ 5 ( t ) − k 2 φ 2 ( t ) + ( k 2 + k 4 ) φ 4 ( t ) − k 4 φ 5 ( t ) = 0 J5 φ 5 ( t ) − h4 φ 4 ( t ) + ( h4 + h5 ) φ 5 ( t ) − h5 φ 6 ( t ) − k 4 φ 4 ( t ) + ( k 4 + k 5 ) φ 5 ( t ) − k 5 φ 6 ( t ) = 0 J6 φ 6 ( t ) − h5 φ 5 ( t ) + ( h5 + h6 ) φ 6 ( t ) − k 5 φ 5 ( t ) + ( k 5 + k6 ) φ 6 ( t ) = 0
•• • •
Układ równań (5.7) mo na zapisać w postaci macierzowo wektorowej
M φ( t ) + H φ( t ) + K φ( t ) = Q
•• •
(5.8)
Q = col {0 0 0 0 0 0}
przy czym
M = diag{J i }
φ( t ) = col { i ( t )} φ
h1 − h 1 0 H= 0 0 0
h1 + h2 + h3 − h3 − h2 0 0 − k1
− h1
− h3 h3 0 0 0
0
− h2 h2 + h4 − h4 0 0
0
0 0 h4 + h5 − h5 − h4 0
0 0 0 − h5 h5 + h6 0 0 0 0 − k5 k 5 + k6 0
(5.9)
k1 − k 1 0 K= 0 0 0
k1 + k 2 + k 3 − k3 − k2 0 0
− k3 k3 0 0 0
••
0
− k2 k2 + k4 − k4 0 0
0
0 0 k 4 + k5 − k5 − k4 0
φ( t ) ≡ φ( t ) mo na utworzyć układ równań macierzowo wektorowych w postaci
• •
Rozwiązując równanie (5.8) ze względu na φ( t ) i uzupełniając o to samością
φ( t ) = −M −1 H φ( t ) − M −1K φ( t ) + M −1Q( t )
Układ równań (5.10) mo na zapisać w postaci równania stanu
••
•
φ( t ) = φ( t )
•
•
(5.10)
y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) φ( t ) = Cy ( t ) + Du( t )
przy czym
(5.11)
φ( t ) O y ( t ) = • u( t ) = Q( t ) φ( t )
O A= −1 − M K
(5.12)
D = [O O ]
I O O B= C = [I O ] −1 −1 − M H O M
(5.13)
Macierze O i I (zerowa i jednostkowa) mają wymiar 6x6, natomiast macierz stanu A i macierz B mają wymiar 12x12. Zapisując model matematyczny napędu maszyny w środowisku MATLABSIMULINK mo na wykorzystać bezpośrednio równania ruchu (5.7) i przedstawić je w postaci schematu blokowego. Schemat taki pokazano na rys.5.5. Mimo, i model nie jest zbyt rozbudowany to jego schemat blokowy jest stosunkowo zło ony i posiada wiele wzajemnych sprzę eń, co mo e być powodem błędów przy budowie schematu w systemie MATLABSIMULINK. W schemacie wyraźnie widać powtarzające się sekwencje bloków, które odpowiadają poszczególnym równaniom ruchu. W celu uniknięcia błędów mo na poszczególne sekwencje bloków zdefiniować jako podsystem (Subsystem) i powielać je w zale ności od liczby równań (stopni swobody) modelu napędu maszyny. Takie podejście zdecydowanie zwiększy przejrzystość schematu i zmniejszy mo liwość popełnienia błędu. Wadą zapisu modelu matematycznego w postaci schematu blokowego na podstawie równań ruchu jest jego zło oność, jednak e zapis taki ma pewne zalety. Umo liwia on w prosty sposób, wprowadzenie do układu ró nego rodzaju nieliniowości w poszczególnych elementach modelowanego napędu. Innym sposobem zapisania modelu napędu w systemie MATLAB-SIMULINK jest przedstawienie równań ruchu w postaci równania stanu (5.11) i wykorzystanie bloku StateSpace. Model omawianego napędu zapisany w taki sposób przedstawiono na rys.5.6. U ycie takiej metody zapisu jest zdecydowanie prostsze i wymaga tylko zdefiniowania macierzy (5.13). Jednak e model taki jest liniowy i uniemo liwia wprowadzanie modyfikacji jak w przypadku schematu blokowego równań ruchu.
Rys. 5.5. Schemat blokowy modelu napędu zbudowany na podstawie równań ruchu
0 Constant x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space
f i1 f i2
Demux f i3
f i4 f i5 f i6
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
Rys. 5.6. Schemat blokowy modelu napędu zbudowany z wykorzystaniem bloku State-Space Wartosci wlasne dla macierzy sztywności omawianego modelu napędu wynoszą: [rad/s] [Hz] 1.0e+005 * 0.0016 2.0073 0.0402 10.0928 0.0795 14.1905 0.3638 30.3578 0.4197 32.6066 1.5057 61.7569 Wektory własne otrzymane dla macierzy sztywności omawianego modelu napędu przyjmują postać: -0.4567 -0.4551 -0.4569 -0.4472 -0.4010 -0.1215 -0.1330 0.2400 -0.2213 0.7362 -0.1208 0.1966 -0.0380 0.0327 -0.1343 0.2454 -0.4203 -0.6632 -0.0642 -0.0001 0.8592 -0.1283 0.2269 -0.8674 -0.1863 0.0233 0.9456 0.3019 0.0073 -0.0008 -0.3536 0.8586 -0.3106 -0.2031 0.0089 -0.0001
Przebieg ćwiczenia Na podstawie rysunków konstrukcyjnych przekazanych przez prowadzącego, zbudować model napędu wykorzystując omawiane techniki modelowania. Wyznaczyć częstości własne napędu i przeanalizować postacie drgań. Wyznaczyć charakterystyki A-F-C wybranych elementów napędu. Zbadać symulacyjnie odpowiedź skokową napędu.
