pobieranie: Modelowanie ukladu MDS nieliniowego
Pobierz dokument pdfPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych
Opracował: Mirosław Pajor
4. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki nieliniowych układów mechanicznych
4.1 Modelowanie nieliniowego układu o jednym stopniu swobody
Model fizyczny nieliniowego układu o jednym stopniu swobody pokazano na rys.4.1
Rys.4.1 Model fizyczny nieliniowego układu o jednym stopniu swobody Równanie ruchu układu we współrzędnych uogólnionych ma następującą postać m x( t ) + h x( t ) + F( x ) = Q( t )
•• •
(4.1)
gdzie: m – masa [kg], h – współczynnik tłumienia wiskotycznego [Ns/m], F(x) – siła sprę ystości [N]. Zakładając, e siła sprę ystości F(x) będzie opisana nieliniową zale nością w postaci F(x)=kx+cx3 (4.2)
gdzie: k, c – współczynniki sztywności [N/m]. Na rys. 4.2. pokazano wykres siły sprę ystości w funkcji przemieszczeń. Jak widać z rysunku jest to tzw. charakterystyka symetryczna, sztywna. Nieliniowy układ o jednym stopniu swobody mo na zamodelować w systemie MATLABSIMULINK w następujący sposób: w równaniu (4.1) podstawiając x( t ) = y ( t ) oraz uwzględniając (4.2), po wykonaniu prostych przekształceń otrzymamy
••
y( t ) =
1 Q( t ) − h ∫ y ( t )dt − k ∫ m
{
[∫ y( t )dt ]dt − c (∫ [∫ y( t )dt ]dt ) }
3
(4.3)
Równanie (4.2) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.4.3
Rys.4.2 Wykres zale ności siły sprę ystości od przemieszczenia (charakterystyka symetryczna, sztywna)
Rys.4.3 Schemat blokowy nieliniowego układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących) W schemacie blokowym pokazanym na rys.4.3 do zamodelowania nieliniowej charakterystyki sprę ystości wykorzystano blok funkcyjny Fcn biblioteki Functions & Tables.
Rys.4.4. Bloki funkcyjne biblioteki Functions & Tables Blok funkcyjny Fcn umo liwia zdefiniowanie wyra enia lub wpisanie gotowej funkcji f(u), celem wyliczenia jego wartości. Wyra enie musi być poprawne pod względem matematycznym. Blok ma zawsze jedno wejście i jedno wyjście. Sygnał u podawany na wejściu mo e być skalarem lub wektorem. Dopuszczalne są operatory arytmetyczne: +, -, *, / oraz funkcje matematyczne: abs, acos, asin, atan, atan2, ceil, cos, cosh, exp, fabs, floor, hypot, ln, log, log10, pow, power, rem, sgn, sin, sinh, sqrt, tan i tanh. Je eli jako funkcja wprowadzone zostanie wyra enie logiczne, to na wyjściu otrzymamy jego wartość logiczną. W przypadku prawdy otrzymamy „l", a dla fałszu „0". W schemacie blokowym pokazanym na rys.4.3 parametry bloku Fcn powinny być ustawione jak na rys.4.5.
Rys.4.5 Parametry bloku Fcn (funkcja) dla nieliniowego układu o jednym stopniu swobody
Charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową (A-C) układu nieliniowego o jednym stopniu swobody, przy zało eniu wymuszenia harmonicznego, mo na wyznaczyć wykorzystując równanie tzw. krzywej szkieletowej w postaci
ω*2 ( A ) =
gdzie: A – amplituda drgań.
k 3 c 2 + A m 4m
(4.4)
Następnie wokół krzywej szkieletowej odkładane są wartości b zgodnie z zale nością ω ( A ) = ω*2 ( A ) ± b( A ) przy czym (4.5)
h2 P b( A ) = 0 − 2 ω*2 ( A ) m mA
2
(4.6)
gdzie: P0 – amplituda siły wymuszającej Q(t)=P0sin(Ω t). Na rys.4.6 pokazano charakterystykę A-C nieliniowego układu o jednym stopniu swobody wyznaczoną na podstawie zale ności (4.4) do (4.6), przy czym przyjęto następujące parametry modelu: m=10 kg, h=100 Ns/m, k=105 N/m, c=108 N/m, P0=1000 N.
krzywa szkieletowa
Rys.4.6 Charakterystyka A-C (amplitudowo-częstotliwościowa) nieliniowego układu MDS o jednym stopniu swobody
Dla porównania charakterystyka A-C układu liniowego przy zało eniu, wyznaczamu z zale ności
e F(x)=kx
A( ω ) =
P0 m
(ω
1
2 0
−ω
2 2
)
h2 + 2 ω2 m
(4.7)
gdzie: ω0 – częstość kołowa drgań swobodnych nietłumionych ω 0 = układu wynosi 15.92 Hz
k , i dla omawianego m
Na rys.4.7 pokazano charakterystykę A-C układu liniowego dla identycznych parametrów modelu i wymuszenia harmonicznego.
Rys.4.6 Charakterystyka A-C (amplitudowo-częstotliwościowa) liniowego układu MDS o jednym stopniu swobody Przebieg ćwiczenia Dla zadanych przez prowadzącego parametrów zbudować model układu nieliniowego SDOF. Wyznaczyć charakterystykę A-C. Przeprowadzić badania symulacyjne odpowiedzi skokowej oraz na wybrane wymuszenia harmoniczne.
Modelowanie ukladu MDS nieliniowego
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie nieliniowych układów mechanicznych
Opracował: Mirosław Pajor
4. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki nieliniowych układów mechanicznych
4.1 Modelowanie nieliniowego układu o jednym stopniu swobody
Model fizyczny nieliniowego układu o jednym stopniu swobody pokazano na rys.4.1
Rys.4.1 Model fizyczny nieliniowego układu o jednym stopniu swobody Równanie ruchu układu we współrzędnych uogólnionych ma następującą postać m x( t ) + h x( t ) + F( x ) = Q( t )
•• •
(4.1)
gdzie: m – masa [kg], h – współczynnik tłumienia wiskotycznego [Ns/m], F(x) – siła sprę ystości [N]. Zakładając, e siła sprę ystości F(x) będzie opisana nieliniową zale nością w postaci F(x)=kx+cx3 (4.2)
gdzie: k, c – współczynniki sztywności [N/m]. Na rys. 4.2. pokazano wykres siły sprę ystości w funkcji przemieszczeń. Jak widać z rysunku jest to tzw. charakterystyka symetryczna, sztywna. Nieliniowy układ o jednym stopniu swobody mo na zamodelować w systemie MATLABSIMULINK w następujący sposób: w równaniu (4.1) podstawiając x( t ) = y ( t ) oraz uwzględniając (4.2), po wykonaniu prostych przekształceń otrzymamy
••
y( t ) =
1 Q( t ) − h ∫ y ( t )dt − k ∫ m
{
[∫ y( t )dt ]dt − c (∫ [∫ y( t )dt ]dt ) }
3
(4.3)
Równanie (4.2) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.4.3
Rys.4.2 Wykres zale ności siły sprę ystości od przemieszczenia (charakterystyka symetryczna, sztywna)
Rys.4.3 Schemat blokowy nieliniowego układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących) W schemacie blokowym pokazanym na rys.4.3 do zamodelowania nieliniowej charakterystyki sprę ystości wykorzystano blok funkcyjny Fcn biblioteki Functions & Tables.
Rys.4.4. Bloki funkcyjne biblioteki Functions & Tables Blok funkcyjny Fcn umo liwia zdefiniowanie wyra enia lub wpisanie gotowej funkcji f(u), celem wyliczenia jego wartości. Wyra enie musi być poprawne pod względem matematycznym. Blok ma zawsze jedno wejście i jedno wyjście. Sygnał u podawany na wejściu mo e być skalarem lub wektorem. Dopuszczalne są operatory arytmetyczne: +, -, *, / oraz funkcje matematyczne: abs, acos, asin, atan, atan2, ceil, cos, cosh, exp, fabs, floor, hypot, ln, log, log10, pow, power, rem, sgn, sin, sinh, sqrt, tan i tanh. Je eli jako funkcja wprowadzone zostanie wyra enie logiczne, to na wyjściu otrzymamy jego wartość logiczną. W przypadku prawdy otrzymamy „l", a dla fałszu „0". W schemacie blokowym pokazanym na rys.4.3 parametry bloku Fcn powinny być ustawione jak na rys.4.5.
Rys.4.5 Parametry bloku Fcn (funkcja) dla nieliniowego układu o jednym stopniu swobody
Charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową (A-C) układu nieliniowego o jednym stopniu swobody, przy zało eniu wymuszenia harmonicznego, mo na wyznaczyć wykorzystując równanie tzw. krzywej szkieletowej w postaci
ω*2 ( A ) =
gdzie: A – amplituda drgań.
k 3 c 2 + A m 4m
(4.4)
Następnie wokół krzywej szkieletowej odkładane są wartości b zgodnie z zale nością ω ( A ) = ω*2 ( A ) ± b( A ) przy czym (4.5)
h2 P b( A ) = 0 − 2 ω*2 ( A ) m mA
2
(4.6)
gdzie: P0 – amplituda siły wymuszającej Q(t)=P0sin(Ω t). Na rys.4.6 pokazano charakterystykę A-C nieliniowego układu o jednym stopniu swobody wyznaczoną na podstawie zale ności (4.4) do (4.6), przy czym przyjęto następujące parametry modelu: m=10 kg, h=100 Ns/m, k=105 N/m, c=108 N/m, P0=1000 N.
krzywa szkieletowa
Rys.4.6 Charakterystyka A-C (amplitudowo-częstotliwościowa) nieliniowego układu MDS o jednym stopniu swobody
Dla porównania charakterystyka A-C układu liniowego przy zało eniu, wyznaczamu z zale ności
e F(x)=kx
A( ω ) =
P0 m
(ω
1
2 0
−ω
2 2
)
h2 + 2 ω2 m
(4.7)
gdzie: ω0 – częstość kołowa drgań swobodnych nietłumionych ω 0 = układu wynosi 15.92 Hz
k , i dla omawianego m
Na rys.4.7 pokazano charakterystykę A-C układu liniowego dla identycznych parametrów modelu i wymuszenia harmonicznego.
Rys.4.6 Charakterystyka A-C (amplitudowo-częstotliwościowa) liniowego układu MDS o jednym stopniu swobody Przebieg ćwiczenia Dla zadanych przez prowadzącego parametrów zbudować model układu nieliniowego SDOF. Wyznaczyć charakterystykę A-C. Przeprowadzić badania symulacyjne odpowiedzi skokowej oraz na wybrane wymuszenia harmoniczne.
