pobieranie: Modelowanie ukladu MDS
Pobierz dokument pdfPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie układów mechanicznych SDOF i MDOF
Opracował: Mirosław Pajor
3. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki układów mechanicznych
3.1 Modelowanie układu o jednym stopniu swobody
Model fizyczny układu o jednym stopniu swobody pokazano na rys.1.1
Rys.3.1 Model fizyczny układu o jednym stopniu swobody Równanie ruchu układu we współrzędnych uogólnionych ma następującą postać m x( t ) + h x( t ) + kx( t ) = Q( t )
•• •
(3.1)
•
gdzie: m – masa [kg], h – współczynnik tłumienia wiskotycznego [Ns/m], k – współczynnik sztywność [N/m]. Układ taki w systemie MATLAB-SIMULINK mo na zamodelować na kilka sposobów: sposób I W równaniu (3.1) podstawiając x( t ) = y ( t ) i wykonując proste przekształcenia otrzymamy 1 y( t ) = Q( t ) − h ∫ y ( t )dt − k ∫ ∫ y ( t )dt dt (3.2) m Równanie (3.2) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.2
••
{
[
]}
Rys.3.2 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących)
•
sposób II Dokonując przekształcenia Laplace’a równania (3.1) otrzymuje się ms 2 x( s ) + hsx( s ) + kx( s ) = Q( s )
+ hs + k x( s ) = Q( s ) (3.4) 1 x( s ) = Q( s ) (3.5) 2 ms + hs + k Równanie (3.5) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.3
2
(ms
)
(3.3)
Rys.3.3 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloku Transfer Fcn (funkcja przejścia) Przy czym parametry bloku Transfer Fcn powinny być ustawione jak na rys.3.4
Rys.3.4 Parametry bloku Transfer Fcn (funkcja przejścia) dla układu o jednym stopniu swobody • sposób III Rozwiązując równanie (3.1) ze względu na x( t ) i uzupełniając o to samość x( t ) ≡ x( t ) mo na utworzyć układ równań w postaci
•• • •
x( t ) = x( t ) •• • h k 1 x( t ) = − x( t ) − x( t ) + Q( t ) m m m Układ równań (3.6) mo na zapisać w postaci macierzowo-wektorowej
• 0 x ••( t ) = k x( t ) − m
•
•
(3.6)
1 x( t ) 0 h • + − x( t ) 0 m
0 0 1 Q( t ) m
(3.7)
uzupełniając równanie (3.7) równaniem w postaci
x( t ) 0 x( t ) = [1 0 ] • + [0 0 ] Q( t ) x( t )
(3.8)
otrzymuje się układ równań zwany uogólnionym równaniem stanu, które zapisuje się następująco y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) (3.9) x( t ) = Cy ( t ) + Du( t ) przy czym x( t ) 0 y ( t ) = • u( t ) = (3.10) Q( t ) x( t )
0 A= k − m 1 0 h B= − 0 m 0 1 C = [1 0 ] D = [0 0 ] m
(3.11)
gdzie: y(t) – wektor stanu, u(t) – wektor wymuszeń, x(t) – współrzędna odpowiedzi, A – macierz stanu, B – macierz wymuszeń, C – macierz odpowiedzi, D – macierz transmisyjna. Wykorzystując równanie stanu (3.9) układ o jednym stopniu swobody mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.5
Rys.3.5 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloku State-Space (przestrzeń stanu) Przy czym parametry bloku State-Space powinny być ustawione jak na rys.3.6
Rys.3.6 Parametry bloku State-Space (przestrzeń stanu) dla układu o jednym stopniu swobody
3.2 Modelowanie układu o dwóch stopniach swobody
Model fizyczny układu o dwóch stopniach swobody pokazano na rys.3.7
Rys.3.7 Model fizyczny układu o dwóch stopniach swobody Równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych mają następującą postać
m1 x1 ( t ) + (h1 + h2 ) x1 ( t ) − h2 x2 ( t ) + (k1 + k 2 )x1 ( t ) − k 2 x2 ( t ) = Q1 ( t )
•• • •
m2 x2 ( t ) − h2 x1 ( t ) + h2 x2 ( t ) − k 2 x1 ( t ) + k 2 x2 ( t ) = Q2 ( t )
••
•
•
(3.12)
•
gdzie: m1,m2 – masy [kg], h1,h2 – współczynniki tłumienia wiskotycznego [Ns/m], k1,k2 – współczynniki sztywność [N/m]. Układ taki w systemie MATLAB-SIMULINK mo na równie zamodelować na kilka sposobów: sposób I W równaniach (3.12) podstawiając x1 ( t ) = y1 ( t ) x2 ( t ) = y 2 ( t ) i wykonując proste przekształcenia otrzymamy
•• ••
y1 ( t ) =
1 Q1 ( t ) − (h1 + h2 )∫ y1 ( t )dt + h2 ∫ y 2 ( t )dt − (k1 + k 2 )∫ ∫ y1 ( t )dt dt − k 2 ∫ ∫ y 2 ( t )dt dt m1 1 y2 (t ) = Q2 ( t ) + h2 ∫ y1 ( t )dt − h2 ∫ y 2 ( t )dt + k 2 ∫ ∫ y1 ( t )dt dt − k 2 ∫ ∫ y 2 ( t )dt dt m2 (3.13)
{
{
[
[
]
]
[
[
]}
]}
Równanie (3.13) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.8
•
Rys.3.8 Schemat blokowy układu o dwóch stopniach swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących) sposób II Układ równań 3.12 mo na przedstawić w zapisie macierzowo-wektorowym m1 0
•• 0 x1 ( t ) h1 + h2 + m2 •• 2 ( t ) − h2 x • − h2 x1 ( t ) k1 + k 2 • + h2 x 2 ( t ) − k 2
− k 2 x1 ( t ) Q1 ( t ) = (3.13) k 2 x ( t ) Q2 ( t ) 2
lub w skróconej formie M x ( t ) + H x ( t ) + Kx ( t ) = Q( t ) przy czym x1 ( t ) x( t ) = x 2 ( t )
Q ( t ) Q( t ) = 1 Q2 ( t ) − h2 k1 + k 2 K = −k h2 2 − k2 k2
•• •
(3.14)
(3.15)
m M= 1 0
0 h1 + h2 H = −h m2 2
(3.16)
gdzie: x(t) – wektor przemieszczeń uogólnionych, Q(t) – wektor sił uogólnionych, M – macierz mas (bezwładności), H – macierz tłumień, K – macierz sztywności.
••
Rozwiązując równanie (3.14) ze względu na x ( t ) i uzupełniając o to samość x ( t ) ≡ x ( t ) mo na utworzyć układ równań macierzowo-wektorowych w postaci
• •
x ( t ) = −M H x ( t ) − M Kx ( t ) + M Q( t )
−1 −1 −1
••
•
x( t ) = x( t )
•
•
(3.17)
Układ równań macierzowo-wektorowych (3.17) mo na zapisać w postaci
• O x ( t ) = •• −1 x ( t ) − M K
I x ( t ) O O O • + − M −1H x ( t ) O M −1 Q( t )
(3.18)
gdzie: I – macierz jednostkowa (2x2), O – macierz (2x2), bądź wektor (2x1) zerowy. Uzupełniając równanie (3.18) równaniem w postaci
x ( t ) O x ( t ) = [I O ] • + [O O ] Q( t ) x ( t ) otrzymuje się analogiczny jak (3.9) układ równań stanu
(3.19)
y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) x ( t ) = Cy ( t ) + Du( t )
przy czym
(3.20)
x ( t ) O y ( t ) = • u( t ) = Q( t ) x ( t )
(3.21)
D = [O O ]
O A= −1 − M K
I O O B= C = [I O ] −1 −1 − M H O M
(3.22)
gdzie: x(t) – jest wektor odpowiedzi a nie jak w równaniu (3.9) pojedyńczą współrzędną. Wykorzystując równanie stanu (3.20) układ o dwóch stopniach swobody mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.9, przy czym parametry bloku State-Space powinny być ustawione analogicznie jak na rys.3.6.
Rys.3.9 Schemat blokowy układu o dwóch stopniach swobody zbudowany z bloku State-Space (przestrzeń stanu) Wykorzystując blok State-Space oraz przedstawiony sposób zapisu równań ruchu mo na zamodelować układ o dowolnej liczbie stopni swobody. Przebieg ćwiczenia Dla zadanych przez prowadzącego parametrów zbudować modele symulacyjne obiektów. Wyznaczyć ich charakterystyki (A-F-C, A-C, F-C). Przeprowadzić symulacje odpowiedzi skokowej i na wymuszenie harmoniczne wg. wskazań prowadzącego.
Modelowanie ukladu MDS
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH
DYNAMIKA MASZYN Modelowanie układów mechanicznych SDOF i MDOF
Opracował: Mirosław Pajor
3. Przykłady zastosowania programu SIMULINK do modelowania dynamiki układów mechanicznych
3.1 Modelowanie układu o jednym stopniu swobody
Model fizyczny układu o jednym stopniu swobody pokazano na rys.1.1
Rys.3.1 Model fizyczny układu o jednym stopniu swobody Równanie ruchu układu we współrzędnych uogólnionych ma następującą postać m x( t ) + h x( t ) + kx( t ) = Q( t )
•• •
(3.1)
•
gdzie: m – masa [kg], h – współczynnik tłumienia wiskotycznego [Ns/m], k – współczynnik sztywność [N/m]. Układ taki w systemie MATLAB-SIMULINK mo na zamodelować na kilka sposobów: sposób I W równaniu (3.1) podstawiając x( t ) = y ( t ) i wykonując proste przekształcenia otrzymamy 1 y( t ) = Q( t ) − h ∫ y ( t )dt − k ∫ ∫ y ( t )dt dt (3.2) m Równanie (3.2) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.2
••
{
[
]}
Rys.3.2 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących)
•
sposób II Dokonując przekształcenia Laplace’a równania (3.1) otrzymuje się ms 2 x( s ) + hsx( s ) + kx( s ) = Q( s )
+ hs + k x( s ) = Q( s ) (3.4) 1 x( s ) = Q( s ) (3.5) 2 ms + hs + k Równanie (3.5) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.3
2
(ms
)
(3.3)
Rys.3.3 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloku Transfer Fcn (funkcja przejścia) Przy czym parametry bloku Transfer Fcn powinny być ustawione jak na rys.3.4
Rys.3.4 Parametry bloku Transfer Fcn (funkcja przejścia) dla układu o jednym stopniu swobody • sposób III Rozwiązując równanie (3.1) ze względu na x( t ) i uzupełniając o to samość x( t ) ≡ x( t ) mo na utworzyć układ równań w postaci
•• • •
x( t ) = x( t ) •• • h k 1 x( t ) = − x( t ) − x( t ) + Q( t ) m m m Układ równań (3.6) mo na zapisać w postaci macierzowo-wektorowej
• 0 x ••( t ) = k x( t ) − m
•
•
(3.6)
1 x( t ) 0 h • + − x( t ) 0 m
0 0 1 Q( t ) m
(3.7)
uzupełniając równanie (3.7) równaniem w postaci
x( t ) 0 x( t ) = [1 0 ] • + [0 0 ] Q( t ) x( t )
(3.8)
otrzymuje się układ równań zwany uogólnionym równaniem stanu, które zapisuje się następująco y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) (3.9) x( t ) = Cy ( t ) + Du( t ) przy czym x( t ) 0 y ( t ) = • u( t ) = (3.10) Q( t ) x( t )
0 A= k − m 1 0 h B= − 0 m 0 1 C = [1 0 ] D = [0 0 ] m
(3.11)
gdzie: y(t) – wektor stanu, u(t) – wektor wymuszeń, x(t) – współrzędna odpowiedzi, A – macierz stanu, B – macierz wymuszeń, C – macierz odpowiedzi, D – macierz transmisyjna. Wykorzystując równanie stanu (3.9) układ o jednym stopniu swobody mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.5
Rys.3.5 Schemat blokowy układu o jednym stopniu swobody zbudowany z bloku State-Space (przestrzeń stanu) Przy czym parametry bloku State-Space powinny być ustawione jak na rys.3.6
Rys.3.6 Parametry bloku State-Space (przestrzeń stanu) dla układu o jednym stopniu swobody
3.2 Modelowanie układu o dwóch stopniach swobody
Model fizyczny układu o dwóch stopniach swobody pokazano na rys.3.7
Rys.3.7 Model fizyczny układu o dwóch stopniach swobody Równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych mają następującą postać
m1 x1 ( t ) + (h1 + h2 ) x1 ( t ) − h2 x2 ( t ) + (k1 + k 2 )x1 ( t ) − k 2 x2 ( t ) = Q1 ( t )
•• • •
m2 x2 ( t ) − h2 x1 ( t ) + h2 x2 ( t ) − k 2 x1 ( t ) + k 2 x2 ( t ) = Q2 ( t )
••
•
•
(3.12)
•
gdzie: m1,m2 – masy [kg], h1,h2 – współczynniki tłumienia wiskotycznego [Ns/m], k1,k2 – współczynniki sztywność [N/m]. Układ taki w systemie MATLAB-SIMULINK mo na równie zamodelować na kilka sposobów: sposób I W równaniach (3.12) podstawiając x1 ( t ) = y1 ( t ) x2 ( t ) = y 2 ( t ) i wykonując proste przekształcenia otrzymamy
•• ••
y1 ( t ) =
1 Q1 ( t ) − (h1 + h2 )∫ y1 ( t )dt + h2 ∫ y 2 ( t )dt − (k1 + k 2 )∫ ∫ y1 ( t )dt dt − k 2 ∫ ∫ y 2 ( t )dt dt m1 1 y2 (t ) = Q2 ( t ) + h2 ∫ y1 ( t )dt − h2 ∫ y 2 ( t )dt + k 2 ∫ ∫ y1 ( t )dt dt − k 2 ∫ ∫ y 2 ( t )dt dt m2 (3.13)
{
{
[
[
]
]
[
[
]}
]}
Równanie (3.13) mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.8
•
Rys.3.8 Schemat blokowy układu o dwóch stopniach swobody zbudowany z bloków Integrator (całkujących) sposób II Układ równań 3.12 mo na przedstawić w zapisie macierzowo-wektorowym m1 0
•• 0 x1 ( t ) h1 + h2 + m2 •• 2 ( t ) − h2 x • − h2 x1 ( t ) k1 + k 2 • + h2 x 2 ( t ) − k 2
− k 2 x1 ( t ) Q1 ( t ) = (3.13) k 2 x ( t ) Q2 ( t ) 2
lub w skróconej formie M x ( t ) + H x ( t ) + Kx ( t ) = Q( t ) przy czym x1 ( t ) x( t ) = x 2 ( t )
Q ( t ) Q( t ) = 1 Q2 ( t ) − h2 k1 + k 2 K = −k h2 2 − k2 k2
•• •
(3.14)
(3.15)
m M= 1 0
0 h1 + h2 H = −h m2 2
(3.16)
gdzie: x(t) – wektor przemieszczeń uogólnionych, Q(t) – wektor sił uogólnionych, M – macierz mas (bezwładności), H – macierz tłumień, K – macierz sztywności.
••
Rozwiązując równanie (3.14) ze względu na x ( t ) i uzupełniając o to samość x ( t ) ≡ x ( t ) mo na utworzyć układ równań macierzowo-wektorowych w postaci
• •
x ( t ) = −M H x ( t ) − M Kx ( t ) + M Q( t )
−1 −1 −1
••
•
x( t ) = x( t )
•
•
(3.17)
Układ równań macierzowo-wektorowych (3.17) mo na zapisać w postaci
• O x ( t ) = •• −1 x ( t ) − M K
I x ( t ) O O O • + − M −1H x ( t ) O M −1 Q( t )
(3.18)
gdzie: I – macierz jednostkowa (2x2), O – macierz (2x2), bądź wektor (2x1) zerowy. Uzupełniając równanie (3.18) równaniem w postaci
x ( t ) O x ( t ) = [I O ] • + [O O ] Q( t ) x ( t ) otrzymuje się analogiczny jak (3.9) układ równań stanu
(3.19)
y ( t ) = Ay ( t ) + Bu( t ) x ( t ) = Cy ( t ) + Du( t )
przy czym
(3.20)
x ( t ) O y ( t ) = • u( t ) = Q( t ) x ( t )
(3.21)
D = [O O ]
O A= −1 − M K
I O O B= C = [I O ] −1 −1 − M H O M
(3.22)
gdzie: x(t) – jest wektor odpowiedzi a nie jak w równaniu (3.9) pojedyńczą współrzędną. Wykorzystując równanie stanu (3.20) układ o dwóch stopniach swobody mo na przedstawić w postaci schematu blokowego pokazanego na rys.3.9, przy czym parametry bloku State-Space powinny być ustawione analogicznie jak na rys.3.6.
Rys.3.9 Schemat blokowy układu o dwóch stopniach swobody zbudowany z bloku State-Space (przestrzeń stanu) Wykorzystując blok State-Space oraz przedstawiony sposób zapisu równań ruchu mo na zamodelować układ o dowolnej liczbie stopni swobody. Przebieg ćwiczenia Dla zadanych przez prowadzącego parametrów zbudować modele symulacyjne obiektów. Wyznaczyć ich charakterystyki (A-F-C, A-C, F-C). Przeprowadzić symulacje odpowiedzi skokowej i na wymuszenie harmoniczne wg. wskazań prowadzącego.
