mechanics.pl

Przeglądaj wersję html pliku:

222

TEMAT: Czas zderzenia kul - sprawdzenie wzoru Hertza. Nr 222

IMIĘ I NAZWISKO: Łukasz Mężydło

Sławomir Grzeszczyk

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

Fizyka Techniczna SEMESTR: LETNI ROK AKADEMICKI 2000/2001

ZESPÓŁ nr 1 DATA WYKONANIA: 26.04.2001

OCENA: PODPIS



Rozpatrzmy zderzenie dwóch jednakowych, metalowych kul . Wpiszmy
najpierw wielkości charakteryzujące każdą z kul, które będą
istotne w procesie zderzenia. Rozmiary geometryczne kuli opisuje jej
promień R, zaś jej bezwładność - masa M. Własności sprężyste
materiału, z którego są zrobione kule określają dwa parametry :
moduł Younga E i współczynnik Poissona (I. Przypomnijmy, że moduł
Younga jest zdefiniowany przez prawo Hooka, które stwierdza
proporcjonalność względnego wydłużenia (skrócenia) ((l / l) do
przyłożonego ciśnienia p., wywołującego to wydłużenie
(skrócenie):



Współczynnik Poissona ( jest zdefiniowany jako stosunek względnego
poprzecznego skrócenia do względnego podłużnego wydłużenia. Jest
to zatem wielkość bezwymiarowa. Załóżmy, że jedna z dwóch takich
samych kul - o masie M. Spoczywa, a druga zbliża się do niej z pewną
prędkością. Najwygodniejszym do opisu układem odniesienia będzie
układ środka masy tych kul . W tym układzie obie kule zbliżają się
do siebie z tą samą prędkością vI .

Energia kinetyczna tych kul w układzie środka masy wynosi :

gdzie:

- masa zredukowana

- prędkość względna kul

W czasie zderzenia obie kule deformują się :

Niech parametr h określa względne zbliżenie środków kul w czasie
zderzenia. Zmienia się on od wartości zero (początek zderzenia) do
pewnej wartości maksymalnej h0 i z powrotem do zera (koniec
zderzenia). Energia całkowita układu kul składa się teraz z dwóch
części: energii kinetycznej i energii potencjalnej.

Można pokazać, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu
szybkości zmian parametru h:

zaś energia potencjalna jest proporcjonalna do parametru h w potędze
5/2:

gdzie k jest pewną stałą, zależną od R,E i (.

Stosując zasadę zachowania energii, otrzymujemy równanie:



Maksymalne zbliżenie środków kul jest wtedy, gdy (dh/dt)=0.
Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy
następujące wyrażenie dla h0:

a to możemy przekształcić łatwo do następującej postaci :

Dysponując tym równaniem nie trudno napisać równanie na czas
zderzenia kul ( :



Obliczenie tej całki nie jest proste napiszmy więc jedynie końcowy
rezultat:

Powyższe równanie nosi nazwę wzoru Hertza.

Tabela Pomiarowa

L.p. ( [(] v [m/s] ln(v) (

[(s] (

[(s] (

[(s] (

[(s] (

[(s] (

[(s] (

[(s] (

[(s] (sr

[(s] ln(()

1 3 0.113 -2.180 125 182 159 139 138 146 112 133 141.750 -10.011

2 5 0.188 -1.670 127 137 148 127 142 146 138 138 137.875 -10.113

3 7 0.264 -1.333 138 142 147 146 146 139 141 138 142.125 -10.180

4 9 0.339 -1.083 139 125 113 125 122 113 120 107 120.500 -10.230

5 11 0.414 -0.882 120 115 115 106 106 108 095 118 110.375 -10.270

6 12 0.451 -0.796 114 112 100 119 096 114 120 110 110.625 -10.288





Z wykresu odczytujemy odwrotność współczynnika kierunkowego prostej,
który jest wykładnikiem wzoru Hertza (-1/5). Jest on równy 1/ -
3,987 co daje błąd procentowy w wysokości 25 %.

Niepewności Systematyczne

pomiaru długości nici

pomiaru czasu





Wnioski:

Na podstawie wyników doświadczenia można stwierdzić, że im
mniejszy kąt odchylenia kulki, tym mniej dokładny pomiar, natomiast im
większy kąt odchylenia kulki tym pomiar staje się bardziej dokładny.