pobieranie: ściąga FIZYKA- EGZAMIN JULIA
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
17 a )Kondensator cylindryczny (walcowy) złożony jest z dwóch
cienkościennych współosiowych cylindrów metalowych o wysokości l i
promieniach r1 i r2 między , którymi znajduję się dielektryk.
Cylinder wewnętrzny naładowany jest dodatnio z gęstością liniową
(+ ), zaś cylinder zewnętrzny ładunkiem ujemnym z gęstością
liniową (-
Gęstość liniowa ładunku
=
Przyjmując równomierny rozkład ładunku w celu uproszczenia
obliczamy:
= [ ]
Przekrój poprzeczny kondensatora cylindrycznego
Jako powierzchnię Gaussa S przyjmujemy współosiowy z poprzednim
cylinder o promieniu r i długości l zamknięty płaskimi powierz-
chniami . Korzystając z prawa Gaussa mamy :
-na powierzchni bocznej E ds.-więc możemy opuścić wektory gdyż
(E ,ds.)=0, a cos0=1
-na podstawach E ds. – więc linie sił pola elektrycznego nie
przecinają podstaw, czyli :
E ds.=0
po podstawie
E d s = E ds.= E ds. =
E ds. = E 2 r l=
E 2rl= ale
E2 r l= :2 r l
E=
Jak widać pole elektryczne w kondensatorze cylindrycznym nie jest
równomierne, gdyż zależy od
Dla r<r1 i r>r2 natężenie pola elektrycznego jest równe zero.
Wynika to bezpośrednio z prawa Gaussa gdyż nie istnieje tam ładunek
elektryczny. Dowolna powierzchnia o promieniu r<r1 lub r>r2 obejmuje
ładunek całkowity równy zero.
Znając natężenie pola między dwoma cylindrami możemy obliczyć
różnicę potencjałów (napięcie elektryczne) między nimi
U= E d r
U=
Stosując wzór definiujemy C= możemy wyznaczyć pojemność
kondensatora cylindrycznego
C=
Ale
Z wyprowadzonego wzoru wynika , że pojemność kondensatora
cylindrycznego zależy od wymiarów geometrycznych, tj. od promieni
cylindrów i ich długości , a także od zastosowanego dielektryka.
C)Kondensator sferyczny (kulisty)
Kondensator ten złożony jest z dwóch współśrodkowych metalowych
sfer(powierzchni kulistych)o promieniach r1 r2 . Między sferami
znajduje się dielektryk , którym w naszym przypadku jest próżnia o
przenikalności elektrycznej .
Zakładamy , że sfera wewnętrzna naładowana jest ładunkiem dodatnim
z gęstością powierzchniową(+ ), zaś sfera zewnętrzna ładunkiem
ujemnym z gęstością (- ) .
Gęstość powierzchniowa ładunku
W celu uproszczenia rachunków przyjmiemy, że rozkład ładunku jest
równomierny:
= [ ]
Jako powierzchnie Gaussa S przyjmujemy umieszczoną współśrodkową
sferę o promieniu r
W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
środka , ale r1<r<r2 stosujemy prawo Gaussa:
E d s= d s = E d s =
= E4 r =
E4 r = : 4 r
E=
Pole elektryczne wewnątrz sfer jest nierównomierne, gdyż zależy od
środka . Pole elektryczne istnieje tylko między sferami. Zaś
wewnątrz wewnętrznej sfery i na zewnątrz zewnętrznej sfery nie ma
pola , więc natężenie pola wynosi zero
Łatwo to wyjaśnić na podstawie prawa Gaussa, gdyż dowolna
powierzchnia o promieniu r<r1 i r>r2 obejmuje teraz ładunek całkowity
równy zero.
Rozkład natężenia pola elektrycznego w dielektryku
-
różnicę potencjałów (napięcie elektryczne, między tymi sferami:
U= E d r
U =
Stosując wzór definicyjny C=
możemy wyznaczyć pojemność kondensatora sferycznego:
C=
=4 [F]
Jak widać ze wzoru pojemność kondensatora sferycznego zależy od
wymiarów geometrycznych tj. promienia sfery oraz materiału
dielektrycznego.
18)Gęstość energii pola elektrycznego.
Energia zmagazynowana w polu elektrycznym kondensatora.
Weźmy dowolny kondensator o pojemności C . Niech w pewnej chwili w
procesie ładowania kondensatora napięcie( różnica potencjałów )na
nim wynosi U, zatem ładunek na jego okładkach wynosi: q= UC
Jeżeli chcemy wprowadzić do kondensatora dodatkowy , nieskończenie
mały ładunek d q , to musimy wykonać w tym celu pracę :
d W= U d q
Do naładowania kondensatora od zera do wartości Q trzeba wykonać
pracę równą:
W=(U d q
W=
Energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora wynosi więc:
W=
Zajmijmy się teraz pojęciem gęstości energii -
Gęstość energii pola elektrycznego
nazywamy energię przypadającą na jednostkę objętości
Swoje rozważania dotyczące gęstości energii oprzyjmy na
kondensatorze płaskim , gdyż pole elektryczne między jego
okładzinami jest równomierne (natężenie pola w każdym punkcie ma
tą samą wartość).
Uprości to nam znaczni rachunki gdyż wtedy:
d W
gęstość energii d V [ ]
gęstość energii we wszystkich punktach jest stała
V= S d
pojemność kondensatora
płaskiego :
C=
Zależność napięcia od natężenia pola w kondensatorze płaskim :
U=E d
C U U
W= 2 =
Gęstość energii pola elektrycznego w danym punkcie jest określona
tylko wielkościami E i D działającymi w rozpatrywanym punkcie .
Z przeprowadzonych rozważań wynika , że kondensator jest zdolny do
gromadzenia energii w polu elektrycznym.
19) Prawo Ampere a i jego zastosowanie.
Całka indukcji pola magnetycznego po dowolnym konturze zamkniętym
(cyrku-
lacja) równa jest iloczynowi przenikalności magnetycznej
próżni i sumy prądów przepływających przez powierzchnie
ograniczoną konturem całkowania .
cyrkulacja- krążenie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd
płynący w przewodniku, wokół każdej krzywej zamkniętej ,
cyrkulacja odgrywa w prawie Ampera taką rolę jak strumień pola
elektrycznego przez zadaną powierzchnię w prawie Gaussa .
prawo to sformułowano dla próżni
Indukcja magnetyczna B jest
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne (podobnie
jak wielkością charakteryzującą pole elektryczne jest indukcja
elektryczna D )
Indukcja magnetyczna B jest wielkością wektorową o kierunku stycznym
do kierunku linii pola w danym punkcie .
[B]= = T jednostką indukcji magnetycznej
jest tes
Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi , nie mają ani
początku ani końca . Kierunek linii pola magnetycznego można
wyznaczyć za pomocą reguły śruby prawoskrętnej .
Prawo Ampera pozwala na proste znalezienie indukcji pola magnetycznego B
w tych przypadkach w których ze względu na symetrie przewodników z
prądem potrójnym z góry możemy przewidzieć wzdłuż których linie
pola B będzie miało stałą wartość , tak aby móc w prosty
sposób obliczyć krążenie tego pola
Przykład zastosowania prawa Ampera .
Obliczenie indukcji pola magnetycznego B pochodzącego od liniowego
przewodnika z prądem I .
Kierunek linii pola magnetycznego wyznaczyliśmy z reguły korkociągu .
Jak wynika z rysunku B d l więc
(B , d l )=0
Ponieważ indukcja magnetyczna jest stała więc możemy wyciągnąć
ją przed znak całki .
Korzystając z prawa Ampera mamy:
B d l = B d l cos (B dl)
= B dl =B dl =b2 r=
I
B2 r = : 2 r
I
B = 2 r
W celu wyprowadzenia prawa Ampera w postaci różniczkowej zastosujemy
matematyczne prawo Stokesa :
w dl= rot w d s
Dla dowolnego ciągłego wektora całkę po konturze zamkniętym l
(cyrkulację pola po konturze zamkniętym l ) możemy zamienić na
całkę po dowolnej powierzchni S ograniczonej tym konturem (strumień
wirowy pola przez dowolną powierzchnie S ograniczoną tym konturem )
rot =
=
Wprowadzamy pojęcie gęstości prądu j . Gęstość prądu jest
wielkością wektorową i wyraża się przez :
J= n [ ]
Kierunek prądu elektrycznego oraz rozkład natężenia prądu w
różnych punktach
rozpatrywanej powierzchni określa gęstość prądu .Wektor gęstości
prądu j jest liczbowo równy stosunkowi natężenia prądu d I
przepływającego przez powierzchnie elementarną .
B d l = rot B d S =
= j i d s = j i ds.
Korzystając z prawa Stokesa i widocznych odpowiedniości otrzymujemy :
rot B = j i -
prawo Ampera w postaci różniczkowej .
Tak więc pole magnetyczne jest bez wirowe ( rot B = 0 ) we wszystkich
obszarach przestrzeni w których nie ma prądów elektrycznych oraz
wirowe (rot B 0) tam , gdzie te prądy są .
W odróżnieniu od pola magnetycznego prądów stałych pole
elektrostatyczne nieruchomych ładunków elektrycznych wszędzie jest
bez wirowe.
PAGE
PAGE 2
ściąga FIZYKA- EGZAMIN JULIA
17 a )Kondensator cylindryczny (walcowy) złożony jest z dwóch
cienkościennych współosiowych cylindrów metalowych o wysokości l i
promieniach r1 i r2 między , którymi znajduję się dielektryk.
Cylinder wewnętrzny naładowany jest dodatnio z gęstością liniową
(+ ), zaś cylinder zewnętrzny ładunkiem ujemnym z gęstością
liniową (-
Gęstość liniowa ładunku
=
Przyjmując równomierny rozkład ładunku w celu uproszczenia
obliczamy:
= [ ]
Przekrój poprzeczny kondensatora cylindrycznego
Jako powierzchnię Gaussa S przyjmujemy współosiowy z poprzednim
cylinder o promieniu r i długości l zamknięty płaskimi powierz-
chniami . Korzystając z prawa Gaussa mamy :
-na powierzchni bocznej E ds.-więc możemy opuścić wektory gdyż
(E ,ds.)=0, a cos0=1
-na podstawach E ds. – więc linie sił pola elektrycznego nie
przecinają podstaw, czyli :
E ds.=0
po podstawie
E d s = E ds.= E ds. =
E ds. = E 2 r l=
E 2rl= ale
E2 r l= :2 r l
E=
Jak widać pole elektryczne w kondensatorze cylindrycznym nie jest
równomierne, gdyż zależy od
Dla r<r1 i r>r2 natężenie pola elektrycznego jest równe zero.
Wynika to bezpośrednio z prawa Gaussa gdyż nie istnieje tam ładunek
elektryczny. Dowolna powierzchnia o promieniu r<r1 lub r>r2 obejmuje
ładunek całkowity równy zero.
Znając natężenie pola między dwoma cylindrami możemy obliczyć
różnicę potencjałów (napięcie elektryczne) między nimi
U= E d r
U=
Stosując wzór definiujemy C= możemy wyznaczyć pojemność
kondensatora cylindrycznego
C=
Ale
Z wyprowadzonego wzoru wynika , że pojemność kondensatora
cylindrycznego zależy od wymiarów geometrycznych, tj. od promieni
cylindrów i ich długości , a także od zastosowanego dielektryka.
C)Kondensator sferyczny (kulisty)
Kondensator ten złożony jest z dwóch współśrodkowych metalowych
sfer(powierzchni kulistych)o promieniach r1 r2 . Między sferami
znajduje się dielektryk , którym w naszym przypadku jest próżnia o
przenikalności elektrycznej .
Zakładamy , że sfera wewnętrzna naładowana jest ładunkiem dodatnim
z gęstością powierzchniową(+ ), zaś sfera zewnętrzna ładunkiem
ujemnym z gęstością (- ) .
Gęstość powierzchniowa ładunku
W celu uproszczenia rachunków przyjmiemy, że rozkład ładunku jest
równomierny:
= [ ]
Jako powierzchnie Gaussa S przyjmujemy umieszczoną współśrodkową
sferę o promieniu r
W celu wyznaczenia natężenia pola elektrycznego w odległości r od
środka , ale r1<r<r2 stosujemy prawo Gaussa:
E d s= d s = E d s =
= E4 r =
E4 r = : 4 r
E=
Pole elektryczne wewnątrz sfer jest nierównomierne, gdyż zależy od
środka . Pole elektryczne istnieje tylko między sferami. Zaś
wewnątrz wewnętrznej sfery i na zewnątrz zewnętrznej sfery nie ma
pola , więc natężenie pola wynosi zero
Łatwo to wyjaśnić na podstawie prawa Gaussa, gdyż dowolna
powierzchnia o promieniu r<r1 i r>r2 obejmuje teraz ładunek całkowity
równy zero.
Rozkład natężenia pola elektrycznego w dielektryku
-
różnicę potencjałów (napięcie elektryczne, między tymi sferami:
U= E d r
U =
Stosując wzór definicyjny C=
możemy wyznaczyć pojemność kondensatora sferycznego:
C=
=4 [F]
Jak widać ze wzoru pojemność kondensatora sferycznego zależy od
wymiarów geometrycznych tj. promienia sfery oraz materiału
dielektrycznego.
18)Gęstość energii pola elektrycznego.
Energia zmagazynowana w polu elektrycznym kondensatora.
Weźmy dowolny kondensator o pojemności C . Niech w pewnej chwili w
procesie ładowania kondensatora napięcie( różnica potencjałów )na
nim wynosi U, zatem ładunek na jego okładkach wynosi: q= UC
Jeżeli chcemy wprowadzić do kondensatora dodatkowy , nieskończenie
mały ładunek d q , to musimy wykonać w tym celu pracę :
d W= U d q
Do naładowania kondensatora od zera do wartości Q trzeba wykonać
pracę równą:
W=(U d q
W=
Energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora wynosi więc:
W=
Zajmijmy się teraz pojęciem gęstości energii -
Gęstość energii pola elektrycznego
nazywamy energię przypadającą na jednostkę objętości
Swoje rozważania dotyczące gęstości energii oprzyjmy na
kondensatorze płaskim , gdyż pole elektryczne między jego
okładzinami jest równomierne (natężenie pola w każdym punkcie ma
tą samą wartość).
Uprości to nam znaczni rachunki gdyż wtedy:
d W
gęstość energii d V [ ]
gęstość energii we wszystkich punktach jest stała
V= S d
pojemność kondensatora
płaskiego :
C=
Zależność napięcia od natężenia pola w kondensatorze płaskim :
U=E d
C U U
W= 2 =
Gęstość energii pola elektrycznego w danym punkcie jest określona
tylko wielkościami E i D działającymi w rozpatrywanym punkcie .
Z przeprowadzonych rozważań wynika , że kondensator jest zdolny do
gromadzenia energii w polu elektrycznym.
19) Prawo Ampere a i jego zastosowanie.
Całka indukcji pola magnetycznego po dowolnym konturze zamkniętym
(cyrku-
lacja) równa jest iloczynowi przenikalności magnetycznej
próżni i sumy prądów przepływających przez powierzchnie
ograniczoną konturem całkowania .
cyrkulacja- krążenie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd
płynący w przewodniku, wokół każdej krzywej zamkniętej ,
cyrkulacja odgrywa w prawie Ampera taką rolę jak strumień pola
elektrycznego przez zadaną powierzchnię w prawie Gaussa .
prawo to sformułowano dla próżni
Indukcja magnetyczna B jest
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne (podobnie
jak wielkością charakteryzującą pole elektryczne jest indukcja
elektryczna D )
Indukcja magnetyczna B jest wielkością wektorową o kierunku stycznym
do kierunku linii pola w danym punkcie .
[B]= = T jednostką indukcji magnetycznej
jest tes
Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi , nie mają ani
początku ani końca . Kierunek linii pola magnetycznego można
wyznaczyć za pomocą reguły śruby prawoskrętnej .
Prawo Ampera pozwala na proste znalezienie indukcji pola magnetycznego B
w tych przypadkach w których ze względu na symetrie przewodników z
prądem potrójnym z góry możemy przewidzieć wzdłuż których linie
pola B będzie miało stałą wartość , tak aby móc w prosty
sposób obliczyć krążenie tego pola
Przykład zastosowania prawa Ampera .
Obliczenie indukcji pola magnetycznego B pochodzącego od liniowego
przewodnika z prądem I .
Kierunek linii pola magnetycznego wyznaczyliśmy z reguły korkociągu .
Jak wynika z rysunku B d l więc
(B , d l )=0
Ponieważ indukcja magnetyczna jest stała więc możemy wyciągnąć
ją przed znak całki .
Korzystając z prawa Ampera mamy:
B d l = B d l cos (B dl)
= B dl =B dl =b2 r=
I
B2 r = : 2 r
I
B = 2 r
W celu wyprowadzenia prawa Ampera w postaci różniczkowej zastosujemy
matematyczne prawo Stokesa :
w dl= rot w d s
Dla dowolnego ciągłego wektora całkę po konturze zamkniętym l
(cyrkulację pola po konturze zamkniętym l ) możemy zamienić na
całkę po dowolnej powierzchni S ograniczonej tym konturem (strumień
wirowy pola przez dowolną powierzchnie S ograniczoną tym konturem )
rot =
=
Wprowadzamy pojęcie gęstości prądu j . Gęstość prądu jest
wielkością wektorową i wyraża się przez :
J= n [ ]
Kierunek prądu elektrycznego oraz rozkład natężenia prądu w
różnych punktach
rozpatrywanej powierzchni określa gęstość prądu .Wektor gęstości
prądu j jest liczbowo równy stosunkowi natężenia prądu d I
przepływającego przez powierzchnie elementarną .
B d l = rot B d S =
= j i d s = j i ds.
Korzystając z prawa Stokesa i widocznych odpowiedniości otrzymujemy :
rot B = j i -
prawo Ampera w postaci różniczkowej .
Tak więc pole magnetyczne jest bez wirowe ( rot B = 0 ) we wszystkich
obszarach przestrzeni w których nie ma prądów elektrycznych oraz
wirowe (rot B 0) tam , gdzie te prądy są .
W odróżnieniu od pola magnetycznego prądów stałych pole
elektrostatyczne nieruchomych ładunków elektrycznych wszędzie jest
bez wirowe.
PAGE
PAGE 2
