Przeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
SPRAWOZDANIE NR. 6
Ćwiczenie Nr 6 Temat ćwiczenia: Wyboczenie
Nazwisko i Imię:
Wydział: Mechaniczny
Grupa:
Data wykonania ćwiczenia:
Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
1.Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania się pręta stalowego o
dużej smukłości ściskanego osiowo wzrastającą siłą aż do
momentu utraty stateczności, wyznaczenie siły krytycznej i zbadanie
wpływu różnych sposobów zamocowania końców pręta na wartość
siły krytycznej.
2.Opis teoretyczny:
W układach sztywnych bezwzględne wartości występujących sił nie
mają wpływu na rodzaj równowagi. Inaczej jest w układach
odkształcalnych. Jeżeli np. na prosty pręt ściskany osiowo
niewielką siłą P działa w sposób statyczny siła Q, normalna do osi
pręta i spowoduje jego ugięcie, to po cofnięciu tej siły pręt
wróci do swojej
pierwotnej postaci. Natomiast ,gdy charakter siły Q będzie dynamiczny,
to wywoła ona drgania pręta około prostej osi. Wzrost siły P
spowoduje początkowo tylko wzrost okresu drgań. Po przekroczeniu
jednak przez siłę P wartości zwanej krytyczną, po chwilowym
zadziałaniu siły Q, pręt nie powróci do swojej pierwotnej postaci, a
ewentualnie drgania zachodzić będą około osi wygiętej. Po
przekroczeniu przez siłę P wartości krytycznej postać prosta pręta
staje się postacią równowagi chwiejnej i pręt w sposób gwałtowny
przybiera nową postać równowagi stałej o osi wygiętej, czemu
towarzyszy nagły wzrost przemieszczeń końca A pręta. Wygięcie
pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości
krytycznej nazywa się wyboczeniem. Prostoliniową postać równowagi
pręta ściskanego osiowo nazywa się stateczną, gdy po niewielkim
ugięciu, spowodowanym chwilowym działaniem dodatkowej siły, pręt
powróci do postaci prostoliniowej, jeżeli natomiast tak się nie
stanie to taką równowagę nazywamy niestateczną.
Siłą krytyczną nazywa się taką wartości siły ściskającej
osiowo, przekroczenie której spowoduje utratą stateczności
prostoliniowej postaci równowagi pręta. Siłę krytyczną w przypadku
wyboczenia sprężystego oblicza się z wzoru Eulera:
gdzie: E - współczynnik sprężystości podłużnej (moduł Younga)
- najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta
l – długość rzeczywista pręta
- współczynnik zależny od zamocowania pręta
pręta oblicza się z wzoru:
gdzie:
przy czym A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta. Naprężenia
krytyczne natomiast oblicza się z wzoru:
):
Przy smukłościach pręta mniejszych od granicznej wyboczenie wystąpi
przy naprężeniach wyższych od granicy stosowalności prawa Hooke’a
(wyboczenie niesprężyste) i wzoru Eulera stosować się nie da.
Stosuje się wtedy wzory empiryczne. Poniżej zamieściłem wykres
zależności smukłości pręta od naprężeń:
3.Stanowisko do badań:
.
Wartość siły P ściskającej pręt określa się z zależności:
Układanie obciążeń na szalkach powinno się odbywać w sposób
łagodny, bez wywoływania obciążeń dynamicznych. Może być też w
układzie pomiarowym zamocowany zegar (10) mierzący ugięcie próbki
oraz ogranicznik (11) zabezpieczający próbkę przed nadmiernym
ugięciem i zniszczeniem. Zamiast pryzm (2) i(4) dających podparcie
przegubowe, można zastosować utwierdzenie jednego lub obu końców
pręta.
4.Wyznaczanie siły krytycznej sposobem bezpośrednim:
Sposób bezpośredni wyznaczania siły krytycznej polega na
obciążeniu pręta wzrastającą siłą ściskającą osiowo, aż do
momentu jego wyboczenia. Najmniejszą wartość siły, przy której
prostoliniowa postać równowagi pręta przestaje być stateczna
przyjmuje się jako wartość siłę krytyczną. Badany pręt powinien
być możliwie jak najdokładniej prosty, a działające siły muszą
działać dokładnie wzdłuż osi pręta. Należy też spokojnie
umieszczać obciążniki na szalkach by nie wywoływać obciążeń
dynamicznych.
5.Wyznaczanie siły krytycznej przez pomiar strzałki ugięcia:
Sposób ten polega na stopniowym zwiększaniu siły P ściskającej
pręt osiowo w zakresie mniejszym od siły krytycznej i pomiarze
strzałki ugięcia przy pomocy czujnika. Ugięcie poprzeczne pręta przy
siłach mniejszych od siły krytycznej wywołane jest faktem, że w
praktyce nie ma prętów idealnie prostych i sil działających idealnie
osiowo. Dlatego też w tej metodzie przejmuje się że pręt na
początku posiada już pewne ugięcie wstępne:
,a moment gnący:
Równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać:
,gdzie:
zatem otrzymujemy:
Rozwiązanie ogólne równania ma postać:
to siła krytyczna.
Równanie to rozwiązujemy z warunków brzegowych:
Po uwzględnieniu powyższych warunków równanie to upraszcza się do
postaci:
Dla x=0.5 to y =f, jeżeli to uwzględnimy w poprzednim równaniu to
otrzymamy wzór na siłę krytyczną:
Jest to równanie, które w układzie współrzędnych (f/P , f)
przedstawia linię prostą o współczynniku kierunkowym:
Zależność ta stanowi podstawę do wyznaczania siły krytycznej
omawianym sposobem. Na podstawie pomiarów ugięć w środku długości
pręta, sporządza się wykres f w funkcji f/P który powinien być
linią prostą. Wykres ten służy do wyznaczania wartości siły
krytycznej z zależności:
jest kątem, jaki tworzy otrzymana prosta z osią f/P.
6.Wnioski:
W tym ćwiczeniu wyznaczaliśmy wartość siły krytycznej za sposobem
bezpośrednim. Wartość momentu bezwładności pręta wynosiła:
Siłę krytyczną przy wyboczeniu sprężystym obliczyliśmy z wzoru
poniżej i wynosiła ona:
Mając wyliczone wszystkie wartości należało wyznaczyć błąd
względny pomiaru:
Oznacza to że wartość teoretyczna wynikająca z przekształceń
fizycznych tylko w niewielkim stopniu odbiegała od wartości
rzeczywistej siły w pręcie zmierzonej w czasie pomiaru. Oznacza to że
pomiar jest obarczony niewielkim błędem. Zatem naprężenie krytyczne
dla naszego pręta wynosi:
. Warto by jeszcze wspomnieć o smukłości granicznej. Zazwyczaj w
obliczeniach wytrzymałościowych przyjmuje się że mamy do czynienia z
wyboczeniem sprężystym i liczy się belkę tak jakby wyboczenie miało
taki charakter, chociaż w rzeczywistości wcale tak nie musi być.
Dlatego smukłość graniczna jest tak ważnym czynnikiem w obliczeniach
gdyż pomaga nam sprawdzić czy wyboczenie rzeczywiście miało
charakter sprężysty, czy też nie. W tym celu należ porównać
smukłość wyliczoną dla wyboczenia sprężystego i porównać ją ze
smukłością graniczną, jeżeli nasza smukłość jest większa od
smukłości granicznej to wyboczenie miało charakter sprężysty i
możemy stosować wzór Eulera słuszny tylko dla wyboczenia
sprężystego. Jeżeli natomiast nasz smukłość była mniejsza od
smukłości granicznej to wyboczenie było niesprężyste i nie możemy
korzystać z wzoru Eulera. Musimy wtedy korzystać z wzorów
empirycznych np. wzór Tetmajera - Jasińskiego lub też wzór Johnsona
- Osterfelda.
Wyboczenie
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
SPRAWOZDANIE NR. 6
Ćwiczenie Nr 6 Temat ćwiczenia: Wyboczenie
Nazwisko i Imię:
Wydział: Mechaniczny
Grupa:
Data wykonania ćwiczenia:
Ocena:
Prowadzący ćwiczenie:
Podpis:
1.Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania się pręta stalowego o
dużej smukłości ściskanego osiowo wzrastającą siłą aż do
momentu utraty stateczności, wyznaczenie siły krytycznej i zbadanie
wpływu różnych sposobów zamocowania końców pręta na wartość
siły krytycznej.
2.Opis teoretyczny:
W układach sztywnych bezwzględne wartości występujących sił nie
mają wpływu na rodzaj równowagi. Inaczej jest w układach
odkształcalnych. Jeżeli np. na prosty pręt ściskany osiowo
niewielką siłą P działa w sposób statyczny siła Q, normalna do osi
pręta i spowoduje jego ugięcie, to po cofnięciu tej siły pręt
wróci do swojej
pierwotnej postaci. Natomiast ,gdy charakter siły Q będzie dynamiczny,
to wywoła ona drgania pręta około prostej osi. Wzrost siły P
spowoduje początkowo tylko wzrost okresu drgań. Po przekroczeniu
jednak przez siłę P wartości zwanej krytyczną, po chwilowym
zadziałaniu siły Q, pręt nie powróci do swojej pierwotnej postaci, a
ewentualnie drgania zachodzić będą około osi wygiętej. Po
przekroczeniu przez siłę P wartości krytycznej postać prosta pręta
staje się postacią równowagi chwiejnej i pręt w sposób gwałtowny
przybiera nową postać równowagi stałej o osi wygiętej, czemu
towarzyszy nagły wzrost przemieszczeń końca A pręta. Wygięcie
pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości
krytycznej nazywa się wyboczeniem. Prostoliniową postać równowagi
pręta ściskanego osiowo nazywa się stateczną, gdy po niewielkim
ugięciu, spowodowanym chwilowym działaniem dodatkowej siły, pręt
powróci do postaci prostoliniowej, jeżeli natomiast tak się nie
stanie to taką równowagę nazywamy niestateczną.
Siłą krytyczną nazywa się taką wartości siły ściskającej
osiowo, przekroczenie której spowoduje utratą stateczności
prostoliniowej postaci równowagi pręta. Siłę krytyczną w przypadku
wyboczenia sprężystego oblicza się z wzoru Eulera:
gdzie: E - współczynnik sprężystości podłużnej (moduł Younga)
- najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta
l – długość rzeczywista pręta
- współczynnik zależny od zamocowania pręta
pręta oblicza się z wzoru:
gdzie:
przy czym A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta. Naprężenia
krytyczne natomiast oblicza się z wzoru:
):
Przy smukłościach pręta mniejszych od granicznej wyboczenie wystąpi
przy naprężeniach wyższych od granicy stosowalności prawa Hooke’a
(wyboczenie niesprężyste) i wzoru Eulera stosować się nie da.
Stosuje się wtedy wzory empiryczne. Poniżej zamieściłem wykres
zależności smukłości pręta od naprężeń:
3.Stanowisko do badań:
.
Wartość siły P ściskającej pręt określa się z zależności:
Układanie obciążeń na szalkach powinno się odbywać w sposób
łagodny, bez wywoływania obciążeń dynamicznych. Może być też w
układzie pomiarowym zamocowany zegar (10) mierzący ugięcie próbki
oraz ogranicznik (11) zabezpieczający próbkę przed nadmiernym
ugięciem i zniszczeniem. Zamiast pryzm (2) i(4) dających podparcie
przegubowe, można zastosować utwierdzenie jednego lub obu końców
pręta.
4.Wyznaczanie siły krytycznej sposobem bezpośrednim:
Sposób bezpośredni wyznaczania siły krytycznej polega na
obciążeniu pręta wzrastającą siłą ściskającą osiowo, aż do
momentu jego wyboczenia. Najmniejszą wartość siły, przy której
prostoliniowa postać równowagi pręta przestaje być stateczna
przyjmuje się jako wartość siłę krytyczną. Badany pręt powinien
być możliwie jak najdokładniej prosty, a działające siły muszą
działać dokładnie wzdłuż osi pręta. Należy też spokojnie
umieszczać obciążniki na szalkach by nie wywoływać obciążeń
dynamicznych.
5.Wyznaczanie siły krytycznej przez pomiar strzałki ugięcia:
Sposób ten polega na stopniowym zwiększaniu siły P ściskającej
pręt osiowo w zakresie mniejszym od siły krytycznej i pomiarze
strzałki ugięcia przy pomocy czujnika. Ugięcie poprzeczne pręta przy
siłach mniejszych od siły krytycznej wywołane jest faktem, że w
praktyce nie ma prętów idealnie prostych i sil działających idealnie
osiowo. Dlatego też w tej metodzie przejmuje się że pręt na
początku posiada już pewne ugięcie wstępne:
,a moment gnący:
Równanie różniczkowe linii ugięcia ma postać:
,gdzie:
zatem otrzymujemy:
Rozwiązanie ogólne równania ma postać:
to siła krytyczna.
Równanie to rozwiązujemy z warunków brzegowych:
Po uwzględnieniu powyższych warunków równanie to upraszcza się do
postaci:
Dla x=0.5 to y =f, jeżeli to uwzględnimy w poprzednim równaniu to
otrzymamy wzór na siłę krytyczną:
Jest to równanie, które w układzie współrzędnych (f/P , f)
przedstawia linię prostą o współczynniku kierunkowym:
Zależność ta stanowi podstawę do wyznaczania siły krytycznej
omawianym sposobem. Na podstawie pomiarów ugięć w środku długości
pręta, sporządza się wykres f w funkcji f/P który powinien być
linią prostą. Wykres ten służy do wyznaczania wartości siły
krytycznej z zależności:
jest kątem, jaki tworzy otrzymana prosta z osią f/P.
6.Wnioski:
W tym ćwiczeniu wyznaczaliśmy wartość siły krytycznej za sposobem
bezpośrednim. Wartość momentu bezwładności pręta wynosiła:
Siłę krytyczną przy wyboczeniu sprężystym obliczyliśmy z wzoru
poniżej i wynosiła ona:
Mając wyliczone wszystkie wartości należało wyznaczyć błąd
względny pomiaru:
Oznacza to że wartość teoretyczna wynikająca z przekształceń
fizycznych tylko w niewielkim stopniu odbiegała od wartości
rzeczywistej siły w pręcie zmierzonej w czasie pomiaru. Oznacza to że
pomiar jest obarczony niewielkim błędem. Zatem naprężenie krytyczne
dla naszego pręta wynosi:
. Warto by jeszcze wspomnieć o smukłości granicznej. Zazwyczaj w
obliczeniach wytrzymałościowych przyjmuje się że mamy do czynienia z
wyboczeniem sprężystym i liczy się belkę tak jakby wyboczenie miało
taki charakter, chociaż w rzeczywistości wcale tak nie musi być.
Dlatego smukłość graniczna jest tak ważnym czynnikiem w obliczeniach
gdyż pomaga nam sprawdzić czy wyboczenie rzeczywiście miało
charakter sprężysty, czy też nie. W tym celu należ porównać
smukłość wyliczoną dla wyboczenia sprężystego i porównać ją ze
smukłością graniczną, jeżeli nasza smukłość jest większa od
smukłości granicznej to wyboczenie miało charakter sprężysty i
możemy stosować wzór Eulera słuszny tylko dla wyboczenia
sprężystego. Jeżeli natomiast nasz smukłość była mniejsza od
smukłości granicznej to wyboczenie było niesprężyste i nie możemy
korzystać z wzoru Eulera. Musimy wtedy korzystać z wzorów
empirycznych np. wzór Tetmajera - Jasińskiego lub też wzór Johnsona
- Osterfelda.