pobieranie: Weryfikacja hipotez statystycznych 2_6
Pobierz dokument docPrzeglądaj wersję html pliku:
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Laboratorium Statystyki Matematycznej
SPRAWOZDANIE NR.2.
Ćwiczenie nr 2 Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych.
Zestaw nr.1.
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie: Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy,
test t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony
jest od spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji.
Jeśli (12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje
się test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Przy obróbce tulejek na automacie tokarskim pobrano dwie próbki po 12
detali w każdej. W wyniku pomiaru średnicy zewnętrznej tulejek w
pierwszej próbce uzyskano: 20,04; 20,05; 20,06; 19,97; 19,90; 20,15;
19,95; 20,08; 19,97; 19,85; 20,00; 20,08 mm. Średnice tulejek w drugiej
próbce były następujące: 19,88; 20,25; 19,96; 19,98; 20,23; 20,06;
19,99; 20,19; 20,07; 20,17; 19,95; 19,97.
Zakładając że zmiana warunków obróbki, w ciągu odcinka czasu
pomiędzy dwiema płytkami, nie ma wpływu na wariancję oraz że
średnice tulejek mają rozkład normalny, zweryfikować na poziomie
istotności α = 0,05 hipotezę zerową, że wymiar nastawczy nie
zmienił się
Ho:(1=(2 wobec hipotezy alternatywnej:
Wymiar nastawczy zmienił się H1: (1 ≠ (2
Wymiar nastawczy dla pierwszej próbki ma mniejszą wartość niż dla
drugiej próbki H2: (1< (2
Wymiar nastawczy dla pierwszej próbki ma większą wartość niż dla
próbki drugiej H3: (1 > (2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 20,00833 20,05833 - 1,15602 22 0,260071 12
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. P
Warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 0,084728 0,123571 2,127058 0,226368
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(12=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (12<(22. Obliczona wartość
statystyki F=2,127058 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95,11,11=2,79 (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy też o
tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,226368 która jest dużo
większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t. Obliczona wartość
statystyki testowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,975;22=2,074 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,074 >u<2,074;+() i
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym
wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,260071, która jest większa
od przyjętego poziomu istotności testu (=0,05.
1.1.Weryfikacja hipotezy zerowejH0:(1 2=(2 2 przeciw hipotezie
alternatywnejH1: (1 2((2 2
w celu sprawdzenia czy spełniony jest warunek jednorodności wariancji
.
Obliczona wartość statystyki F=2,127058 jest mniejsza od wartości
krytycznej
F0,95, 11, 11=2,79 (poziom prawdopodobieństwa p=0,226368 jest większy
od przyjętego poziomu istotności (=0,05 tym samym nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Tym samym można do
weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości oczekiwanych obu
populacjach zastosować test t.
1.2.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,95,22= 1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( (-( ,-
1,717( ( (1,717,() i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
1.3.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,975,22= 1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( (-(
,-1,717( i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
1.4.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: (1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t = - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,975,19=1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( ( 1,717 ,
( ) i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Zadanie 2
Dla porównania dwóch mikrometrów wykonano pomiar płytek wzorcowych.
Wyniki pomiarów były następujące:
Nr płytki Wyniki pomiaru I mikrometrm
Wyniki pomiaru II mikrometrem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 2,02
4,04
6,03
8,05
10,02
12,03
14,02
16,04
18,05
20,02
22,04
24,05 2,03
4,01
5,98
8,04
9,96
11,98
13,07
16,00
18,03
20,01
22,01
24,02
Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny,
zweryfikować na poziomie
istotności α = 0,05 hipotezę zerową, że średnie wskazania obu
mikrometrów są jednakowe H0: :(1=(2 wobec hipotezy alternatywnej:
Średnie wskazania mikrometrów różnią się od H1 (1 ≠ (2
Wskazania mikrometru pierwszego są mniejsze niż drugiego H2: (1< (2
Wskazania mikrometru pierwszego są większe niż drugiego H2: (1> (2
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR1
VAR2 13,03417
13,00333 7,21502
7,213165 12 0,030833 0,020652 5,171826 11 0,000308
2.1.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t=5,171826 .Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( (-( ,-2,201((( 2,201
,+().Statystyka testowa należy do obszaru krytycznego , a więc należy
odrzucić , na poziomie istotności (=0,05, hipotezę zerową na
korzyść hipotezy alternatywnej.
2.2.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t=5,171826 . Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( (-(
,-1,795(.Statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego , a więc
nie należy odrzucić hipotezy Ho
2.3.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= 5,171826. Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( ( 1,795
,+().Statystyka testowa należy do obszaru krytycznego , a więc należy
odrzucić , na poziomie istotności (=0,05, hipotezę zerową na
korzyść hipotezy alternatywnej.
Weryfikacja hipotez statystycznych 2_6
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA
Laboratorium Statystyki Matematycznej
SPRAWOZDANIE NR.2.
Ćwiczenie nr 2 Temat: Weryfikacja hipotez statystycznych.
Zestaw nr.1.
Wydział Mechaniczny Grupa
Data wykonania ćwiczenia: Ocena:
Prowadzący ćwiczenie: Podpis:
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zasadami weryfikacji hipotez
statystycznych.
Proces weryfikacji hipotezy przebiega w następujących pięciu etapach.
Formułowanie hipotezy zerowej Ho i hipotezy alternatywnej H1.
Przyjęcie poziomu istotności (
Określenie – stosownie do postawionej hipotezy zerowej Ho –
statystyki testowej i obliczenie jej wartości na podstawie danych z
próby losowej
Przy ustalonym poziomie istotności określenie obszarów krytycznych
Wnioskowanie o odrzuceniu lub nie odrzucaniu hipotezy zerowej Ho
Do weryfikacji hipotezy zerowej stosowane są w zasadzie dwa testy,
test t lub test Cochrana-Coxa. Wybór jednego z nich uzależniony
jest od spełnienia warunku równości wariancji (12=(22 obu populacji.
Jeśli (12=(22 to stosowany jest test t, w przeciwnym przypadku stosuje
się test Cochrana-Coxa. Oba testy wymagają spełnienia normalności
rozkładu zmiennych X1 i X2, co można sprawdzić odpowiednim testem
zgodności.
Zadanie 1
Przy obróbce tulejek na automacie tokarskim pobrano dwie próbki po 12
detali w każdej. W wyniku pomiaru średnicy zewnętrznej tulejek w
pierwszej próbce uzyskano: 20,04; 20,05; 20,06; 19,97; 19,90; 20,15;
19,95; 20,08; 19,97; 19,85; 20,00; 20,08 mm. Średnice tulejek w drugiej
próbce były następujące: 19,88; 20,25; 19,96; 19,98; 20,23; 20,06;
19,99; 20,19; 20,07; 20,17; 19,95; 19,97.
Zakładając że zmiana warunków obróbki, w ciągu odcinka czasu
pomiędzy dwiema płytkami, nie ma wpływu na wariancję oraz że
średnice tulejek mają rozkład normalny, zweryfikować na poziomie
istotności α = 0,05 hipotezę zerową, że wymiar nastawczy nie
zmienił się
Ho:(1=(2 wobec hipotezy alternatywnej:
Wymiar nastawczy zmienił się H1: (1 ≠ (2
Wymiar nastawczy dla pierwszej próbki ma mniejszą wartość niż dla
drugiej próbki H2: (1< (2
Wymiar nastawczy dla pierwszej próbki ma większą wartość niż dla
próbki drugiej H3: (1 > (2
Rozwiązanie.
Należy zweryfikować hipotezę Ho:(1=(2 przy hipotezie alternatywnej
że (1((2. Ponieważ nie wiemy czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji w obu populacjach, wykonamy wstępne obliczenia
przyjmując że jest on spełniony. Wyniki obliczeń przedstawiono w
tabeli 1.
Tabela 1. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Średnia grupa 1 Średnia grupa 2 t df p Nważnych
grupa 1
Próba 1 vs próba 2 20,00833 20,05833 - 1,15602 22 0,260071 12
Stat. Podst. Statyst. Testy dla prób niezależnych
Grupa 1 vs grupa 2 Nważnych grupa 2 Odch. Std. Grupa1 Odch. Std. Grupa
2 Prop. F warianc. P
Warianc.
Próba 1 vs próba 2 12 0,084728 0,123571 2,127058 0,226368
Na początku analizy wyników sprawdza się czy spełniony jest warunek
jednorodności wariancji, czyli weryfikuje się hipotezę zerową Ho:
(12=(22 przeciw hipotezie alternatywnej H1: (12<(22. Obliczona wartość
statystyki F=2,127058 jest mniejsza od wartości krytycznej
F0,95,11,11=2,79 (nie należy do obszaru krytycznego) świadczy też o
tym wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,226368 która jest dużo
większa od przyjętego poziomu istotności (=0,05 a więc nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Można
zatem do weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości
oczekiwanych w obu populacjach zastosować test t. Obliczona wartość
statystyki testowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna wartość jest
mniejsza od wartości krytycznej t0,975;22=2,074 a więc statystyka
testowa nie należy do obszaru krytycznego W(((-(,-2,074 >u<2,074;+() i
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Świadczy też o tym
wartość poziomu prawdopodobieństwa p=0,260071, która jest większa
od przyjętego poziomu istotności testu (=0,05.
1.1.Weryfikacja hipotezy zerowejH0:(1 2=(2 2 przeciw hipotezie
alternatywnejH1: (1 2((2 2
w celu sprawdzenia czy spełniony jest warunek jednorodności wariancji
.
Obliczona wartość statystyki F=2,127058 jest mniejsza od wartości
krytycznej
F0,95, 11, 11=2,79 (poziom prawdopodobieństwa p=0,226368 jest większy
od przyjętego poziomu istotności (=0,05 tym samym nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji. Tym samym można do
weryfikacji hipotezy zerowej o równości wartości oczekiwanych obu
populacjach zastosować test t.
1.2.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,95,22= 1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( (-( ,-
1,717( ( (1,717,() i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
1.3.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,975,22= 1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( (-(
,-1,717( i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
1.4.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: (1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t = - 1,15602 i jej bezwzględna
wartość jest mniejsza od wartości oczekiwanej t0,975,19=1,717, a
więc statystyka opisowa nie należy do obszaru krytycznego W( ( 1,717 ,
( ) i nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Zadanie 2
Dla porównania dwóch mikrometrów wykonano pomiar płytek wzorcowych.
Wyniki pomiarów były następujące:
Nr płytki Wyniki pomiaru I mikrometrm
Wyniki pomiaru II mikrometrem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 2,02
4,04
6,03
8,05
10,02
12,03
14,02
16,04
18,05
20,02
22,04
24,05 2,03
4,01
5,98
8,04
9,96
11,98
13,07
16,00
18,03
20,01
22,01
24,02
Zakładając, że wyniki pomiarów mają rozkład normalny,
zweryfikować na poziomie
istotności α = 0,05 hipotezę zerową, że średnie wskazania obu
mikrometrów są jednakowe H0: :(1=(2 wobec hipotezy alternatywnej:
Średnie wskazania mikrometrów różnią się od H1 (1 ≠ (2
Wskazania mikrometru pierwszego są mniejsze niż drugiego H2: (1< (2
Wskazania mikrometru pierwszego są większe niż drugiego H2: (1> (2
Tabela 2. Wyniki obliczeń testu dla prób niezależnych.
STAT. PODST. Test T dla prób zależnych
Zmienna Średnia Od.std. N Różnica Od.std. Różnica t df p
VAR1
VAR2 13,03417
13,00333 7,21502
7,213165 12 0,030833 0,020652 5,171826 11 0,000308
2.1.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t=5,171826 .Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( (-( ,-2,201((( 2,201
,+().Statystyka testowa należy do obszaru krytycznego , a więc należy
odrzucić , na poziomie istotności (=0,05, hipotezę zerową na
korzyść hipotezy alternatywnej.
2.2.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t=5,171826 . Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( (-(
,-1,795(.Statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego , a więc
nie należy odrzucić hipotezy Ho
2.3.Weryfikacja hipotezy zerowej H0: (1 =(2 wobec hipotezy
alternatywnej H1: ( 1 ((2 .
Obliczona wartość statystyki zerowej t= 5,171826. Ze względu na
hipotezę alternatywną
H1: ( 1 ((2 obszarem krytycznym jest przedział W( ( 1,795
,+().Statystyka testowa należy do obszaru krytycznego , a więc należy
odrzucić , na poziomie istotności (=0,05, hipotezę zerową na
korzyść hipotezy alternatywnej.
